Граничні умови

Доведення теореми Блоха ґрунтувалось на властивості трансляційної симетрії кристалічної решітки, у зв’язку з чим решітка вважалась необмеженою. В дійсності ми маємо справу з обмеженими, хоч і великими, кристалами. Припустимо, що наш кристал є частиною (блоком) кристалу, що складається з нескінченного числа еквівалентних блоків. При такому припущенні ми спотворюємо реальні граничні умови для хвильової функції, внаслідок чого її поведінка у приповерхневій області кристалу буде відрізнятись від реальної. Однак, оскільки об’єм приповерхневої області набагато менший від повного об’єму кристалу, це не вплине на об’ємні властивості кристалу такі, як енергетичний спектр електронів, які залежать від поведінки хвильової функції у всьому об’ємі. При такому розгляді хвильова функція електрона у кристалі задовольняє циклічним граничним умовам, чи умовам Борна-Кармана:

,

, (8.1)

,

, , – розміри кристалу у напрямах 1,2,3 відповідно.

Двовимірний кристал, що складається з нескінченого числа еквівалентних блоків, зображено на рис.8.1.

Рис.8.1. Схема двовимірного кристалу, що складається з нескінченого числа еквівалентних блоків.

Підставляючи (7.3) у першу граничну умову (8.1), одержимо

(8.2)

Із рівняння (8.2) випливає

. (8.3)

Умова (8.3) виконується, якщо

k L ₁ a ₁=2 πn ₁, (8.4)

n ₁ÎZ – ціле число.

Використовуючи (5.4), запишемо рівняння (8.4) у вигляді

2 π k₁ L ₁= 2 πn ₁, (8.4)

Звідки

,

де n ₁ – ціле число.

Аналогічно із другої і третьої граничних умов (8.1) одержимо

, ,

де n ₂, n ₃ – цілі числа.

Таким чином, проекції хвильового вектора

k= k ₁ b ₁+ k ₂ b ₂+ k ₃ b ₃ (8.5)

приймають дискретні значення

, , , (8.6)

n ₁, n ₂, n ₃ ÎZ – цілі числа,

, , – розміри кристалу у напрямах 1,2,3 відповідно.

Розглянемо нееквівалентні значення хвильового вектора k (8.5), що належать до основної комірки оберненої решітки. При фіксованих значеннях k ₂, k ₃ і різних значеннях k ₁ (8.6)

маємо:

k ₀ = k ₂ b ₂+ k ₃ b ₃,

,

.......................

.

Вектори k ₀, k ₁,…, відповідають різним значенням n ₁ = 0,1,..., L ₁-1. Вектор згідно (7.4) є еквівалентний до вектора k ₀.Аналогічно можна одержати, що n ₂ = 0,1,..., L ₂-1. n ₃ = 0,1,..., L ₃-1. Таким чином, число значень хвильового вектора k, що належать до основної комірки оберненої решітки, дорівнює L ₁× L ₂× L ₃ = N – числу вузлів (примітивних комірок) прямої решітки. Стільки ж хвильових векторів k належить до зони Бріллюена.

Розглянемо, наприклад, кристали кубічної симетрії. До них відносяться три решітки Браве: 1) проста кубічна; 2) об’ємноцентрована кубічна і 3) гранецентрована кубічна.

У простій кубічній решітці атоми розташовані у вершинах куба. Кожен атом має шість найближчих сусідів. Така структура існує в деякій області температур тільки для одного елемента – полонія. Для простої решітки основні вектори у виразі (4.1) ортогональні; при цьому ç а ₁ç=ç а ₂ç=ç а ₃ç= а. Основні вектори оберненої решітки, згідно (5.7), b ₁÷ç а ₁, b ₂÷ç а ₂, b ₃÷ç а ₃; при цьому . Таким чином, обернена решітка для простої кубічної решітки з довжиною ребра куба а має симетрію простої кубічної решітки з довжиною ребра куба 2 π / a. Зона Бріллюена для простої кубічної решітки має форму куба з довжиною ребра 2 π / a.

У гранецентрованій кубічній решітці атоми розташовані у вершинах куба і в центрах граней. Для побудови оберненої решітки у цьому випадку зручно скористатись властивостями 1, 2 оберненої решітки (див. розділ 1, §5). Для цього розглянемо сімейства паралельних площин прямої решітки (рис. 8.2, а). На рис. 8.2, а можна виділити чотири сімейства площин (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) і (1,1,1).

Рис.8.2. Гранецентрована кубічна решітка. а – пряма решітка,
б – обернена решітка.

Найменша відстань між площинами сімейства (1,0,0) дорівнює d ₁= a /2.

Вектор оберненої решітки, що перпендикулярний до сімейства площин (1,0,0), має модуль g ₁= 2 π / d ₁= 4 π / a. На базисі декартової системи координат цей вектор має вираз

.

Сімействам площин (0,1,0), (0,0,1) будуть відповідати вектори оберненої решітки

.

.

Найменша відстань між площинами сімейства (1,1,1) дорівнює . Вектор оберненої решітки, що перпендикулярний до сімейства площин (1,1,1), рівний за модулем . Цей вектор визначається виразом

.

Вектори g ₁, g ₂, g ₃, g ₄ описують положення вузлів оберненої решітки, яка має симетрію об’ємноцентрованої кубічної решітки з довжиною ребра куба 4π/ a.

Для побудови зони Бріллюена розглянемо площини, що ділять пополам і перпендикулярні до прямих, які з’єднують центральний вузол з його вісьма найближчими сусідами (рис.8.2,б). Перетин цих площин утворює восьмигранник. Якщо взяти площини, що ділять пополам і перпендикулярні до прямих, які з’єднують вибраний центральний вузол із шістьма вузлами, що знаходяться в центрах найближчих сусідніх кубів, то ці шість площин відсікають частини восьмигранника. В результаті одержимо Зону Бріллюена, що має форму чотирнадцятигранника, вісім граней якого є правильні шестикутники, а шість граней – квадрати (рис.8.3).

Рис.8.3. Зона Бріллюена гранецентрованої кубічної решітки.

Аналогічно можна показати, що обернена решітка до об’ємноцентрованої кубічної решітки з довжиною ребра куба а має симетрію гранецентрованої кубічної решітки з довжиною ребра куба 4π/ a. Перша координаційна група оберненої решітки складається з дванадцяти вузлів.

Зона Бріллюена об’ємноцентрованої кубічної решітки має форму дванадцятигранника (додекаедра), зображеного на рис.8.4.

Рис.8.4. Зона Бріллюена об’ємноцентрованої кубічної решітки.