Критерий Гурвица. Система будет устойчива, если все диагональные миноры матрицы Гурвица будут положительны

Система будет устойчива, если все диагональные миноры матрицы Гурвица будут положительны.

1. Задано характеристическое уравнение и необходимое условие выполнено

2. Составление матрицы Гурвица по следующему алгоритму:

· на диагональ коэффициенты, начиная с ;

· вниз от диагонали – коэффициенты с увеличением номера;

· вверх от диагонали – коэффициенты с уменьшением номера;

· составляются определители (диагональные миноры);

an- 1	an- 3			…
an	an- 2
		…
			a 2
…				a 1
				a 0	a 0

3. Для устойчивости системы необходимо, чтобы все n диагональных миноров были положительны .

Пример:

Оценить устойчивость системы, имеющей следующую передаточную функцию в разомкнутом виде:

.

a) устойчивость разомкнутой системы

,

характеристическое уравнение системы: , s₁=0, s₂=s₃=-0,5.

Один нулевой корень и два “левых”, отсюда следует, что разомкнутая система на границе устойчивости.

b) устойчивость замкнутой системы

характеристическое уравнение замкнутой системы

– необходимое условие выполнено, n = 3

Определитель Гурвица:

произведение средних членов должно быть больше чем произведение крайних.

Для заданной системы:

4×1-2×4 = -4 < 0, отсюда следует, что система неустойчива.

Это правило не дает количества корней в правой полуплоскости.

Алгебраический критерий позволяет установить связь между параметрами, при которых система будет устойчива, например для системы

установим связь между коэффициентом передачи К и постоянной времени Т.

Характеристическое уравнение:

Критерий Гурвица используется для систем невысокого порядка (до 5-6).

Существует алгебраический критерий Рауса, который также оценивает устойчивость по коэффициентам. Он удобен для численных расчетов, позволяет определить количество корней в правой плоскости.