Необходимые условия устойчивости

Предположим, что система устойчива. Все корни расположены в левой полуплоскости.

Характеристическое уравнения запишем в виде произведения сомножителей:

1. Соответствующих вещественным корням:

;

2. Соответствующих комплексным корням:

Характеристическое уравнение:

.

После перемножения сомножителей с положительными коэффициентами и приведения подобных получим уравнение:

, у которого все коэффициенты положительны .

Таким образом необходимым условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

В случае не выполнения необходимых условий система является не устойчивой без дополнительного анализа.

Примечание:

Для системы 1-го и 2-го порядка необходимые условия одновременно являются достаточными.

, корень вещественный и отрицательный;

;

;

, два вещественных отрицательных корня;

, комплексно-сопряженные корни с отрицательной вещественной частью.

Для уравнений 3-го порядка и выше необходимые условия не являются достаточными и нужны дополнительные правила.

Эти правила определяются критерием Гурвица.