Задача о раскрое материалов

Из 100 листов фанеры изготавливают детали 3 видов: А, В и C, - после чего из них составляют комплекты, включающие 3 детали А и по 2 детали В и С. Из каждого листа можно изготовить либо 4 детали А и 1 деталь С, либо по 2 детали А и С и 3 детали В. Необходимо раскроить листы так, чтобы максимизировать число комплектов деталей.

Построим математическую модель этой ситуации.

В задаче необходимо определить, сколько листов раскроить каким способом. Введем переменные x₁ – количество листов фанеры, обработанных первым способом (при котором получают 4 детали А и т.д.), x₂ – количество листов, обработанных другим способом.

Цель операции – получить как можно больше комплектов. Поскольку рассчитать число комплектов с помощью имеющихся данных и введенных переменных невозможно, введем еще одну переменную – х – количество комплектов деталей.

Так как всего имеется 100 листов, х₁ + х₂ £ 100.

За счет первого способа обработки будет получено 4х₁ деталей А, а за счет второго – 2х₂. Общее число деталей А должно быть не менее 3х, так как в каждый из х комплектов должно войти по 3 детали А (и часть деталей А может остаться лишними). Таким образом, 4х₁ + 2х₂ ³ 3х. Аналогичные ограничения строятся для деталей В (3х₂ ³ 2х) и С (х₁ + 2х₂ ³ 2х).

Кроме того, здесь по смыслу задачи переменные должны быть не только неотрицательными, но и целыми. Тогда модель примет вид:

max x

х₁ + х₂ £ 100

4х₁ + 2х₂ ³ 3х

3х₂ ³ 2х

х₁ + 2х₂ ³ 2х

х_1,2, х ³ 0

х_1,2, х ÎZ

Или по-другому:

max x

х₁ + х₂ £ 100

4х₁ + 2х₂ - 3х ³ 0

3х₂ - 2х ³ 0

х₁ + 2х₂ - 2х ³ 0

х_1,2, х ³ 0

х_1,2, х ÎZ