Теорема существования для задачи Дирихле с однородными граничными условиями

Рассмотрим задачу

(58.1)

Теорема 58.1. Пусть функция является решением задачи (58.1). Тогда

(58.2)

для любой функции .

Доказательство. Умножим тождество на и проинтегрируем:

. (58.3)

Воспользуемся формулой Грина и учтем, что на .

. (58.4)

Из формул (58.3) и (58.4) следует равенство

,

которое можно переписать в виде

,

что и требовалось доказать. ■

Определение 58.2. Пусть . Назовем функцию обобщенным решением задачи Дирихле (58.1), если она удовлетворяет уравнению для любой функции .

Теорема 58.3. Обобщенное решение задачи Дирихле (58.1) существует и единственно.

Доказательство. Определим функционал

, (58.5)

где . Линейность этого функционала очевидна. Используя неравенство Фридрихса, получаем

.

Т.к. является эквивалентной нормой на , то последнее неравенство говорит о том, что функционал является непрерывным. По теореме Рисса об общем виде функционала на гильбертовом пространстве должен существовать (единственный) элемент такой, что . Т.к. мы рассматриваем вещественное гильбертово пространство, то . Отсюда и из формулы (58.5) получаем , т.е. формулу (58.2), что и требовалось доказать.