Геометрическое изображение комплексных чисел

Всякое комплексное число z=x+ i y можно изобразить точкой М(х;у) плоскости ОXY такой, что х=Rez, у=Imz. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=х+ i y (см. рис. 161).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=х+0 i =х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z=0+ i y.

Комплексное число z=х+ i y можно задавать с помощью радиус-вектора r=ОМ=(х;у). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Argz или φ.

Аргумент комплексного числа z=0 не определен. Аргумент комплексного числа z≠0 — величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2...): Argz = argz + 2πk, где argz — главное значение аргумента, заключенное в промежутке (—π;π], т. е. —π<argz≤π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π)).