Линейные однородные ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка:

и установим некоторые свойства его решений.

Теорема 3.2. Если функции y₁=y₁(x) и у₂=у₂(х) являются частными решениями уравнения (3.13), то решением этого уравнения является также функция

где c₁ и с₂ - произвольные постоянные.

Подставим функцию у=c₁y₁+с₂у₂ и ее производные в левую часть ЛОДУ (3.13). Получаем:

так как функции y₁ и у₂ - решения уравнения (3.13) и, значит, выражения в скобках тождественно равны нулю.

Таким образом, функция у=c₁y₁+c₂y₂ также является решением уравнения (3.13).

Из теоремы 3.2, как следствие, вытекает, что если y₁ и у₂ - решения уравнения (3.13), то решениями его будут также функции у=y₁+y₂ и у=cу₁.

Функция (3.14) содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения (3.13). Может ли она являться общим решением уравнения (3.13)?

Для ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

Функции y₁=y₁(x) и у₂=у₂(х) называются линейно независимыми на интервале (а;b), если равенство

где a₁,a₂ є R, выполняется тогда и только тогда, когда a₁=a₂=0.

Если хотя бы одно из чисел a₁ или а₂ отлично от нуля и выполняется равенство (3.15), то функции у₁ и у₂ называются линейно зависимыми на (а;b).

Очевидно, что функции y₁ и у₂ линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. для всех х є (a;b) выполняется равенртво или Например, функции y₁=3е^х и у₂=е^х линейно зависимы: y1/y2=3=const; функции y₁ и у₂=е^2x - линейно независимы: функции у₄=sin х и у₅=cos x являются линейно независимыми: равенство a₁ sin x+а₂ cos х=0 выполняется для всех х є R. лишь при a₁=а₂=0

Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан (Ю. Вронский - польский математик).

Для двух дифференцируемых функций y₁=y₁(x) и у₂=у₂(х) вронскиан имеет вид

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 3.3. Если дифференцируемые функции y1(x) и у₂(х) линейно зависимы на (а;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Так как функции y₁ и у₂ линейно зависимы, то в равенстве (3.15) значение a₁ или а₂ отлично от нуля. Пусть a₁≠0, тогда поэтому для любого х е (а;b)

Теорема 3.4. Если функции y₁(x) и у₂(х) - линейно независимые решения уравнения (3.13) на (а;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.

Доказательство теоремы опустим.

Из теорем 3.3 и 3.4 следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (a; b) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.

Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (a; b) частных решений у₁(х) и у₂ (х) ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация у=a₁y₁(x)+a₂y₂(x).

Пример 3.4. Частные решения у₁=sinx и у₂=cosx, у₃=2sinx и у₄=5cosx (их бесчисленное множество!) уравнения у''+у=0 образуют фундаментальную систему решений; решения же у₅=0 и у_б=cosx - не образуют.Теперь можно сказать, при каких условиях функция (3.14) будет общим решением уравнения (3.13).

Теорема 3.5 (структура общего решения ЛОДУ второго порядка). Если два частных решения y₁=y₁(x) и у₂=у₂(х) ЛОДУ (3.13) образуют на интервале (а;b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция

где c₁ и с₂ - произвольные постоянные.

Согласно теореме 3.2, функция (3.16) является решением уравнения (3.13). Остается доказать, что это решение общее, т. е. что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

где х_о є (a;b).

Подставив начальные условия (3.17) в решение (3.14), получим систему уравнений

где у_о=у(х_о), у_о=у'(х_о), с неизвестными с₁ и с_2. Определитель этой системы

равен значению вронскиана W(x) при х=х_о.

Так как решения y1(x) и у₂(х) образуют фундаментальную систему решений на (а; b) и хо є (а;b), то, согласно теореме 3.4, W(x₀)≠0. Поэтому система уравнений имеет единственное решение:

Решение у=c⁰₁y₁(x)+c₀₂y₂(x) является частным решением (единственным, в силу теоремы единственности) уравнения (3.13), удовлетворяющим начальным условиям (3.17). Теорема доказана.

Пример 3.5. На основании теоремы 3.5 общим решением уравнения у"+у=0 (см. пример 3.4) является функция у=c₁sinx+с₂cosx.

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка (приводимые к уравнениям первого порядка)

1 ☼. Дифференциальное уравнение - не содержит явным образом искомую функцию у.

Его решение проводят следующим образом. Обозначим первую производную , через, т.е. , тогда вторая производная, входящая в уравнение . Подставляя данное условие в исходное уравнение мы получим дифференциальное уравнение первого порядка или , относительно неизвестной функции p от x.

Проинтегрировав его, мы получим , а затем из соотношения , т.е. , получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения .

Пример.

Рассмотрим дифференциальное уравнение .

Для его решения сделаем замену , тогда и в результате . Разделив переменные, проинтегрируем его

Теперь, исходя из замены , имеем .

2 ☼. Уравнения вида - не содержит в явном виде независимого параметра x.

Для решения таких видов дифференциальных уравнений снова положим , но теперь будем считать p функцией от переменной y (а не от x как прежде). Тогда .

Подставим в заданное уравнение, получим .

После его интегрирования мы найдем значение p, как функцию y

и далее , разделив переменные после интегрирования найдем общее решение заданного уравнения.

Пример.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения .

Положим , рассматривая p, как функцию y. Тогда и мы получаем

, но так как , то

и интегрируя, получаем

.

3 ☼. Дифференциальные уравнения вида , в котором в явном виде не содержится ни неизвестной функции, ни ее первой производной его решение осуществляется двукратным, последовательным интегрированием.

и далее.

Пример.

Решить уравнение. , и далее интегрируя, получаем

, и после повторного интегрирования .