Классификация поверхностей

В зависимости от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве поверхности можно разделить на отдельные группы, которые указаны на рис.3.4.

Линейчатые поверхности - поверхности, которые могут быть образованы с помощью прямой линии.

Нелинейчатые поверхности - поверхности, которые могут быть образованы только с помощью кривой линии.

Развертывающиеся поверхности - поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

Неразвертывающиеся поверхности - поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

Поверхности с постоянной образующей - поверхности, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности.

Поверхности с переменной образующей - поверхности, образующая которых изменяется в процессе образования поверхности.

25!!!

Определение истинной величины плоской фигуры. Построение разверток поверхностей.

Определение истинной величины плоской фигуры можно осуществить путем преобразования чертежа способом замены плоскостей проекций. На рис. 146, а дан комплексный чертеж прямоугольника ABCD. Ни одна из проекций прямоугольника не занимает частного положения. Задачу решаем последовательным решением третьей и четвертой основных задач. Заменив плоскость П2 на П 4, приводим прямоугольник в частное положение, т. е. в виде проецирующей по отношению к П4 – Выполнив вторую замену, то есть замену П4 на П5, определяем истинную величину прямоугольника ABC.

Задачу определения истинной величины прямоугольника можно также решить способом вращения вокруг линии уровня плоскости этой фигуры до совмещения с соответствующей плоскостью уровня (рис. 146, б).

В ряду рассматриваемых задач может быть также решена задача на определение истинной величины фигуры сечения поверхности проецирующей плоскостью. В этом случае достаточно одной замены плоскостей проекций (исходная задача 3). В этом случае истинную величину фигуры сечения можно легко построить путем непосредственного замера расстояний точек фигуры "вдоль сечения" и "поперек сечения" (рис. 147).

Длина фигуры сечения АВ изображается в истинную величину на плоскости П2, так как является отрезком фигуры фронтали секущей плоскости. Расстояние между симметричными точками "поперек сечения" изображается в натуральную величину на плоскости П1 так как является отрезками горизонталей секущей плоскости Sum.

Построение разверток поверхностей

При изготовлении различных конструкций и изделий из листового материала имеет большое значение построение разверток поверхностей. Если представить себе поверхность как гибкую нерастяжимую пленку, то некоторые из них путем изгиба можно совместить с плоскостью без разрывов и деформаций. Такие поверхности относятся к развертывающимся, а полученную в результате развертывания поверхности плоскую фигуру называют разверткой этой фигуры. Те поверхности, которые нельзя совместить без разрывов и деформаций, относятся к неразвертываемым (см. § 45).

В практике возникает необходимость изготовления из листового железа не только развертывающихся плоскостей. Теоретически точно развертываются только гранные поверхности, торсы, конические или цилиндрические поверхности. При развертывании конических и цилиндрических поверхностей общего вида в практике их аппроксимируют вписанными гранными поверхностями. В этом случае чем больше граней содержит вписанная поверхность, тем точнее ее развертка. Построенные таким образом развертки поверхностей называют приближенными.

Чтобы построить развертки неразвертывающихся поверхностей, эти поверхности разбивают на части, которые можно приближенно заменить развертывающимися поверхностями. После этого строят развертки этих частей, которые в сумме дают условную развертку неразвертывающейся поверхности.

31 Поверхности параллельного переноса. Задание их на чертеже.

Поверхностью параллельного переноса называется поверхность, образованная непрерывным параллельным перемещением образующей l по направляющей а: Г (а, l).

Частными случаями поверхностей параллельного переноса являются поверхность эллиптического параболоида и поверхность гиперболического параболоида, образованные перемещением одной параболы по другой.

Если оси параболы а и l имеют одно направление, а плоскости их перпендикулярны, то образуется эллиптический параболоид.

32. Поверхности вращения. Задание их на чертеже.

Поверхности вращения.

Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i (рис.8.4).

Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i (рис 8.4.а).

Алгоритмическая часть включает две операции:

1. На образующей m выделяют ряд точек A, B, C, …F;

2. Каждую точку вращают вокруг оси i.

а) эпюр б) модель

Рисунок 8.4. Образование поверхности вращения

Так создается каркас поверхности, состоящей из множества окружностей (рис.8.5), плоскости которых расположены перпендикулярно оси i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства:

1. Плоскость перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели.

2. Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум

симметричным относительно оси линиям – меридианам.

Плоскость проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости проекций называется плоскостью главного меридиана, а линия, полученная в сечении, – главным меридианом.

Рассмотрим наиболее распространенные поверхности вращения с криволинейными образующими:

Сфера – образуется вращением окружности вокруг её диаметра (рис.8.6).

При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипсоиды, которые могут быть получены вращением эллипса вокруг одной из осей: если вращение вокруг большой оси то эллипсоид называется вытянутым, если вокруг малой – сжатым или сфероидом.

Тор – поверхность тора формируется при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр окружности (рис.8.9).

Параболоид вращения – образуется при вращении параболы вокруг своей оси (рис.8.10).

а) однополостной б) двуполостной

Рисунок 8.11. Гиперболоид вращения

Гиперболоид вращения – различают одно (рис.8.11а) и двух (рис.8.11б) полостной гиперболоиды вращения. Первый получается при вращении вокруг мнимой оси, а второй – вращением гиперболы вокруг действительной оси.

Поверхности параллельного переноса.

Поверхностью параллельного переноса называется поверхность, образованная поступательным плоскопараллельным перемещением образующей - плоской кривой линии m по криволинейной направляющей n (рис.8.16).

Геометрическая часть определителя состоит из двух кривых линий образующей - m и направляющей – n.

Алгоритмическая часть определителя содержит перечень операций:

1. На направляющей п выбираем ряд точек А, В, С,…

2. Строим векторы АВ, ВС,…

3. Осуществляем параллельный перенос линии т по векторам АВ, ВС, …

Наглядным примером плоскости параллельного переноса может служить

скользящая опалубка, применяемая в строительстве.

Рисунок 8.16. Поверхность параллельного переноса

33. Составные поверхности.

Поверхность составлена из нескольких элементарных поверхностей. Например любая деталь может состоять и из плоскостей, составляющих грани, и из цилиндрических поверхносте и т.п. Ниже пример поверхности, составленной из цилиндрической и сферической поверхностей.

34. Винтовые поверхности.

Винтовая поверхность образуется винтовым перемещением линии (образующей). Поверхность можно задать начальным положением образующей и направляющей – цилиндрической винтовой линией, которая называется гелисой.

В технике часто встречаются винтовые поверхности, образованные при винтовом движении прямой. Такие поверхности называются геликоидами. В зависимости от величины угла наклона образующей к оси геликоиды бывают прямыми, если угол равен 90°, и наклонными (косыми), если угол – произвольный, отличный от 0 и 90°.

Прямой геликоид имеет другое название – прямой коноид, т.к. прямолинейные образующие пересекают ось и винтовую направляющую, оставаясь параллельными одной и той же плоскости, перпендикулярной оси геликоида. Поэтому эта поверхность может быть задана двумя способами и иметь два определителя Г (i, l h), и Г (i, a, T), где i – ось геликоида, l – образующая прямая, h – шаг винтового движения, а – направляющая, T – плоскость параллелизма, которая может совпадать с П1 либо с П2. На рисунке показаны проекции элементов определителей, плоскость T совпадает с П1, поэтому образующие поверхности являются горизонталями, пересекающими ось i.

Для получения наглядного изображения поверхности ее задание проекциями геометрической части определителя следует расширить до задания каркасом, состоящим из последовательных положений прямолинейных образующих винтовых линий.

Наклонный, или архимедов, геликоид отличается от прямого геликоида тем, что его прямолинейная образующая пересекает ось i геликоида под постоянным углом b. Образующая геликоида пересекая две направляющие ось i и направляющую гелису а на цилиндре, остается параллельной образующим некоторого конуса вращения с вершиной S имеющего общую ось с винтовой линией и угол между образующей и осью, равный углу b.

На рисунке показано построение каркаса прямоугольных образующих наклонного геликоида Г (i, l, a) на ортогональном чертеже очертание геликоида на фронтальной проекции получается как огибающая семейства прямолинейных образующих. В сечении геликоида плоскостью Q (Q2) перпендикулярной его оси (нормальное сечение) получается спираль Архимеда.

Прямые и наклонные геликоиды подразделяются на закрытые и открытые. Признаком для такого деления служат взаимное расположение оси геликоида и образующей. Если образующая и ось пересекаются, геликоид называют закрытым, если скрещиваются – открытым. Выше были рассмотрены закрытые геликоиды.

Следует отметить одно важное свойство винтовых поверхностей, состоящее в том, что они могут сдвигаться, т.е. совершая винтовое перемещение поверхность скользит вдоль самой себя. Это свойство обеспечивает винтовым поверхностям широкое применение: винты, шнеки, сверла, пружины, поверхности лопаток турбин и вентиляторов, рабочие органы судовых движителей, конструкции винтовых линий и др. Винтовые поверхности, и в частности прямой и наклонный геликоиды, широко применяются в технике. Этими поверхностями ограничены червяки (в червячных передачах) винты, болты и т.п.

Тело ограниченное цилиндрическим и винтовыми поверхностями называют винтом. На рисунке показаны различные профили винтов. Винт прямоугольного профиля (а) ограничен двумя цилиндрическими поверхностями и двумя прямыми геликоидами, треугольного (b) – двумя наклонными геликоидами и, наконец, упорного (c) – цилиндрического поверхностного, ограниченного прямым геликоидом и наклонным геликоидом.

35. Принадлежность точки и линии поверхности.

Линия и точка, принадлежащие поверхности

Для определения принадлежности точки и линии поверхности рассмотрим следующие позиционные задачи:

Задача 1. Построение линии принадлежащей поверхности, если одна из проекций линии задана (рис. 8.17). Наружный диаметр трубной резьбы будет больше обозначенного на чертеже

Дано:

1.Поверхность Ф, заданная проекциями каркаса состоящих из образующих линий l и направляющей n.

2. Проекция линии m2, принадлежащей поверхности Ф. Угловой интерьер Словом "интерьер" обозначается внутренний вид помещения. В рисунке интерьера мы показываем и пол и потолок помещения. Проецирующие плоскости Примеры построения многогранных поверхностей

а) модель Выполнение графических работ

Фронтально проецирующая прямая Начертательная геометрия б) эпюр

Рисунок 8.17. Линия на поверхности

Алгоритм решения задачи:

1. Находим точки 12, 22, 32, 42 пересечения проекции линии m2 с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий l12, l22, l32, l42.

2. По линиям связи находим проекции точек 11, 21, 31, 41, как точки лежащие на проекциях образующих каркаса соответственно l11, l21, l31, l41 и определяющих положение проекции линии т1 на поверхности Ф.

Задача 2. По одной проекции точки, принадлежащей поверхности, найти точку на поверхности (рис. 8.18).

Дано:

1. Поверхность Ф, заданная проекциями каркаса состоящего из образующих l и направляющих n.

2. Проекция точки К1, принадлежащей поверхности Ф.

а) модель б) эпюр

Рисунок 8.18. Точка на поверхности

Алгоритм решения задачи:

1. Через заданную проекцию точки К1 проводим одноименную проекцию произвольной вспомогательной линии принадлежащей поверхности т1.

2. Находим точки 11, 21, 31, 41, пересечения проекции линии m1 с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий l11, l21, l31, l41.

3. По линиям связи находим проекции точек 12, 22, 32, 42 как точки лежащие на проекциях образующих каркаса соответственноl12, l22, l32, l42 и определяющих положение проекции линии т2 на поверхности Ф.

4. По линии связи находим положение проекции точки К2, как точку принадлежащую вспомогательной линии т2.

36.Прямая, касательная к поверхности.

37. Плоскость, касательная к поверхности.

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К ПОВЕРХНОСТИ

Прямая линия, касательная к какой-либо линии, принадлежащей поверхности, является касательной и к поверхности. Через любую точку поверхности можно провести множество прямых, а, следовательно, и множество касательных прямых. В дифференциальной геометрии доказывается, что все эти касательные прямые располагаются в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке.

Таким образом, касательная плоскость к поверхности есть множество всех касательных, проведенных к поверхности через одну и ту же точку. Положение плоскости в пространстве определяется двумя пересекающимися прямыми, поэтому для построения касательной плоскости к поверхности в заданной точке достаточно построить касательные к двум прямым линиям, проходящим через эту точку. В качестве таких прямых выбирают наиболее простые линии поверхности. Если данная поверхность является линейчатой, то за одну из таких кривых целесообразно взять прямолинейную образующую (касательная к прямой линии есть сама прямая).

38. Пересечение линии и поверхности.

Линия пересекает поверхность, если имеет с ней одну или несколько общих точек.

Для графического определения точек пересечения линии с поверхностью (рис.110) необходимо выполнить ряд геометрических построений, описываемых следующим алгоритмом:

1. заключаем линию l в некоторую вспомогательную поверхность Δ;

2. строим линию m пересечения данной поверхности Ф и вспомогательной поверхности Δ;

3. определяем искомую точку К пересечения линии l и m (точка может быть не единственная).

В качестве вспомогательной поверхности целесообразно использовать проецирующую цилиндрическую поверхность, направляющей которой должна служить заданная линия, а –прямолинейными образующими – проецирующие прямые.

39. Пересечение поверхностей. Метод секущих сфер.

Взаимное ПЕРЕСЕЧЕНИЕ поверхностей

Взаимное пересечение поверхностей - позиционная задача, решаемая с использованием метода вспомогательных секущих поверхностей посредников.

Линией пересечения двух поверхностей является множество точек, общих для данных поверхностей. Из этого множества выделяют характерные (опорные или главные) точки, с которых следует начинать построение этой линии. Они позволяют увидеть, в каких границах можно изменять положение вспомогательных секущих поверхностей для определения остальных точек.

К таким точкам относятся: экстремальные точки - верхняя и нижняя точки относительно той или иной плоскости проекций; точки, расположенные на очерковых образующих некоторых поверхностей; точки границы зоны видимости и т.д.

Следует имеет в виду, что линия пересечения двух поверхностей в проекциях всегда располагается в пределах контура наложения проекций двух пересекающихся поверхностей.

Иногда целесообразно воспользоваться преобразованием чертежа, чтобы представить пересекающиеся поверхности (или одну из них) в частном положении.

Для определения этих точек часто пользуются вспомогательными секущими поверхностями.

В общем случае решение задачи по построению линии пересечения двух поверхностей может быть сведено к рассмотренным ранее задачам по определению:

1. точек пересечения линии с поверхностью;

2. линии пересечения плоскости и поверхности;

3. комбинации первой и второй задачи.

Далее приведены алгоритмы решения задач построения линии пересечения конуса и призмы и сферы и цилиндра.

Отдельно выделены частные случаи пересечения поверхностей второго порядка, когда биквадратная кривая пересечения поверхностей распадается на плоские линии.

Кроме того, как частный случай пересечения поверхностей, можно рассматривать касание.

Метод секущих сфер

Линия пересечения двух цилиндров Ф и? (RФ > R?) может быть определена с помощью метода секущих сфер. Это определяется тем, что рассматриваемые поверхности являются поверхностями вращения и оси вращения пересекаются.

Линия пересечения распадается на две ветви, нижнюю и верхнюю, построение которых аналогично (см. рисунок 2, Метод секущих сфер).

Фронтальные проекции характерных точек линии пересечения 12 и 22 определятся в результате пересечения фронтальных очерков Ф2 и?2,а горизонтальные - определятся по принадлежности этих точек цилиндру?.

Низшая точка линии пересечения (3)определяется введением сферы RФ, которая пересечет цилиндр Ф по окружности l(фронтальная проекция этой окружности совпадет с фронтальной проекцией оси вращения цилиндра?).

С цилиндром? эта же сфера пересечется по окружностиm. Точка 3 и есть результат пересечения окружностей lи m. Промежуточные точки определятся аналогично, как пересечение окружностей, получающихся в пересечении произвольных сфер RФ < Ri < О212 с цилиндрами Ф и?. Фронтальные проекции точек линии пересечения определяются как пересечения отрезков прямых, в которые вырождаются окружности, перпендикулярные оси вращения, а горизонтальные проекции находятся по принадлежности одной из поверхностей. В данном случае - поверхности?.

40.Пересечение поверхностей. Метод секущих плоскостей.

Метод секущих плоскостей

Этот метод применяют для построения линии пересечения поверхностей, позволяющих получать (одновременно) во вводимых секущих плоскостях, графически простые линии (прямые или окружности). Это утверждение может быть проиллюстрировано на примере пересечения призмы? и конуса Ф (см. рисунок 1, Метод секущих плоскостей).

Здесь в качестве вспомогательных секущих плоскостей выступают горизонтальные плоскости уровня Si. На поверхности конуса (в силу того, что они перпендикулярны оси вращения) эти плоскости выделяют окружности, а на поверхности призмы - параллельные прямые (образующие).

Характерные точки 1, 5 линии пересечения определяют в пересечении фронтальных очерков. Текущие точки линии пересечения определятся как результат пересечения соответствующих окружностей и прямых в секущих плоскостях Si.

40))