Поле пластины с током

Электрический ток равномерно протекает по очень большой пластине (то есть будем считать ее бесконечной), линейная плотность тока равна i (Рис.57). Найдем индукцию магнитного поля, Создаваемого таким распределением токов.

В том случае, когда электрический ток протекает по тонкой пластине, можно пренебречь толщиной пластины, или распределением плотности тока по глубине, то распределение токов на поверхности удобно характеризовать линейной плотностью – отношением силы тока, пересекающего малый отрезок, перпендикулярный направлению тока, к длине этого отрезка

I =Δ I Δ l. (1)

Линейную плотность тока можно считать вектором, указывающим направление движения зарядов.

Линейная плотность тока является некоторым аналогом поверхностной плотности заряда – когда можно пренебречь толщиной слоя, в котором находятся заряды, можно считать, что все заряды находятся на поверхности, и описывать их распределение поверхностной плотностью σ. Кстати, равномерное распределение поверхностных токов можно получить, если равномерно заряженную пластину (с постоянной плотностью заряда σ) двигать с постоянной скоростью υ ⃗, направленной вдоль плоскости пластины (Рис. 58). В этом случае линейная плотность электрического тока равна i ⃗ = συ ⃗ (докажите это самостоятельно).

Вернемся к расчету магнитного поля. Прежде всего, нам необходимо попытаться определить направление вектора индукции этого поля. Используя симметрию задачи можно утверждать, что вектор индукции может зависеть только от расстояния до плоскости (если сместится на некоторое расстояние вдоль плоскости, то распределение токов не изменится, почему должно изменится создаваемое им поле?). Поле под плоскостью совпадет с полем над плоскостью при его повороте на 180° (при таком повороте распределение токов на плоскости не изменяется).

Далее – вектор индукции такого поля не может иметь составляющей, перпендикулярной пластине, иначе не будет выполняться теорема о магнитном потоке.

Наконец, прямой электрический ток, создает магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен направления тока – откуда в данной задаче взяться составляющей вектора индукции, параллельной току?

Таким образом, мы приходим к выводу, что вектор индукции изучаемого поля и его силовые линии направлены параллельно пластине и перпендикулярно направлению тока (Рис. 57).

К этому же выводу можно прийти на основании принципа суперпозиции. Для этого следует разбить плоскость на ряд очень тонких полосок, параллельных направлению тока, которые можно рассматривать как линейные токи (Рис. 59).

Затем следует просуммировать ^[1] векторы индукции полей, создаваемых каждой полоской. Понятно, что на бесконечной плоскости каждой полоске I ₁ (за исключением I ₀, той, которая находится непосредственно под точкой наблюдения A) найдется симметричная ей I ₂. Сумма векторов индукции полей, создаваемых симметричными полосками, направлена параллельно плоскости и перпендикулярно току (так же как и вектор индукции центральной полоски I ₀). Следовательно, и сумма векторов индукции полей, создаваемых всеми полосками направлена также.

Все эти рассуждения нам необходимы, чтобы выбрать контур для подсчета циркуляции в виде прямоугольника ABCD (Рис. 57), симметричного относительно пластины, плоскость которого перпендикулярна пластине и направлению тока, а две его стороны параллельны пластине (длины этих сторон обозначим l). На сторонах BC и DA вектор индукции перпендикулярен им (поэтому здесь B ⃗ ⋅Δ l ⃗ =0), а на сторонах параллельных плоскости вектор индукции постоянен и направлен вдоль контура (поэтому на каждой из этих сторон ∑ kB ⃗ k ⋅Δ l ⃗ k = Bl). Таким образом, циркуляция вектора индукции по данному контуру равна Γ B =2 Bl. Используя теорему о циркуляции, запишем уравнение

Γ B =2 Bl = μ 0 I = μ 0 il,

(где I = il - сила тока, пересекающего контур) из которого определим индукцию поля

B = μ 0 i 2. (2)

Во-первых, полученный результат говорит, что магнитное поле является однородным - его индукция постоянна (заранее мы не могли утверждать, что она не зависит от расстояния до пластины). Во-вторых, полученная формула удивительно похожа на формулу для напряженности поля равномерно заряженной пластины (если правильно поменять магнитную и электрическую постоянные); правда, вектор напряженности перпендикулярен пластине, а вектор индукции параллелен ей.