Поле цилиндрического проводника с током

Постоянный электрический ток силой I протекает по длинному цилиндрическому проводнику радиуса R (Рис. 55). Найдем распределение индукции магнитного в пространстве, как внутри цилиндра, так и вне его. Будем считать, что ток равномерно распределен по поперечному сечению цилиндра, то есть плотность тока является постоянной и равной

j = IS = IπR 2. (1)

Это предположение выглядит логичным, однако не обоснованным, на самом деле, расчет распределения плотности тока является отдельной сложной задачей.

Можно повторить все рассуждения и экспериментальные обоснования, которые привели нас к выводу о том, что силовые линии магнитного поля прямого тока являются концентрическими окружностями. В данном случае симметрия задачи также осевая, поэтому и здесь силовые линии – окружности с центрами на оси цилиндра. Для расчета величины магнитной индукции, конечно, допустимо использовать закон Био-Саварра-Лапласа и принцип суперпозиции. Но зачем идти таким длинным путем, если есть возможность воспользоваться теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции. Сначала в качестве контура L ₁ выберем окружность радиуса r, совпадающую с одной из силовых линий, которая расположена внутри цилиндра. На этой окружности вектор индукции направлен по касательной к контуру (это же силовая линия) и постоянен по модулю, поэтому циркуляция вектора индукции равна произведению ее модуля на длину окружности Γ B = B ⋅2 πr. Сила тока, пересекающего контур, равна произведению плотности тока на площадь круга, ограниченного рассматриваемым контуром I 1= j ⋅ πr 2= Ir 2 R 2. По известной теореме, циркуляция вектора магнитной индукции равна электрическому току, пресекающему контур, умноженному на магнитную постоянную, поэтому справедливо равенство

B ⋅2 πr = μ 0 Ir 2 R 2,

из которого находим значение индукции поля

B = μ 0 Ir 2 πR 2, (2)

которая возрастает пропорционально расстоянию до оси цилиндра.

Если вычислить циркуляцию для кругового контура L ₂, радиус r которого превышает радиус цилиндра, то она, по-прежнему, будет равна Γ B = B ⋅2 πr, но сила тока, пересекающего контур, будет равна I (весь ток пересекает контур), поэтому теорема о циркуляции для этого контура будет иметь вид

B ⋅2 πr = μ 0 I,

из которой следует, что магнитное поле в рассматриваемом случае совпадает с полем прямого тока, индукция которого равна

B = μ 0 I 2 πr, (3)

и убывает обратно пропорционально расстоянию до оси цилиндра. На поверхности цилиндра (при r = R) формулы (2) и (3) приводят к одному и тому же результату, здесь индукция поля максимальна Bmax = μ 0 I 2 πR.

Важно отметить, что распределение магнитного поля вне цилиндра не зависит от распределения плотности тока внутри цилиндра, если это распределение сохраняет осевую симметрию. Поэтому если поле создается электрическими токами, протекающими по тонким проводам, то нас не интересует распределение плотности тока в поперечном сечении.

График зависимости индукции поля от расстояния до оси цилиндра приведен на рис. 56.