Учебный год. Лектор Хаметов В.М. 9 страница

Найдем распределение вероятностей . Ясно, что , где

Очевидно

Поэтому (2)

Обозначим через - экспоненциальное распределение с параметром , а через - n-кратную свертку этих распределений. Очевидно, что , а Поэтому из (2) имеем: .

Вычислим , имеем

.

Теперь вычислим , имеем

Отсюда следует, что дисперсия пуассоновского процесса в момент времени равна . Отметим, что величина - называется интенсивностью пуассоновского процесса.

Вопрос: Является ли пуассоновский процесс непрерывным в среднем порядка 1? Ответ положительный.

Действительно, так как - неубывающий процесс, т.е. Р - п. н. Поэтому Следовательно, процесс непрерывен в среднем порядка 1 для , а в силу теоремы 4 пуассоновский процесс стохастически непрерывен.

43. Полумартингалы (определения, случай непрерывного времени) Предопределенный процесс. Теорема (78) Дуба-Мейера. Пример.

Определение. Будем говорить, что процесс - мартингал, если выполняются условия: 1) , 2) Р - п. н., и .

Будем говорить, что - супермартингал, если: 1) , 2) Р - п. н. для и .

Процесс субмартингал, если: 1) , 2) Р - п. н. для и .

Множество случайных процессов, являющихся "суб", "супер", или просто мартингалами называется полумартингалами. Множество полумартингалов обозначим через .

Пример. Рассмотрим пуассоновский процесс . Из его определения следует, что для . Поэтому . Следовательно, пуассоновский процесс - субмартингал.

Ниже мы покажем, что если , то он допускает представление где - процесс имеющий ограниченную вариацию, а - мартингал.

Определение. Случайный процесс называется предсказуемым, если его траектории непрерывны слева, имеют предел справа и не имеют разрывов второго рода.

Теорема 5 (Дуба - Мейера). Пусть - субмартингал относительно меры Р. Тогда существует единственный предсказуемый возрастающий процесс такой, что для любого Р - п. н.
где - мартингал.

(Без доказательства.)

Замечание. Если - супермартингал, то - субмартингал. Следовательно значит из где .

Пример. Пусть - пуассоновский процесс, тогда Р - п. н. для , где - мартингал относительно меры Р.

44. Регулярные мартингалы. Критерий существования непрерывной справа модификации у равномерно интегрируемого супермартингала (теорема 79).

Определение. Мартингал относительно меры Р называется регулярным, если существует -измеримая случайная величина , такая, что Р - п. н. для .

Замечание. Очевидно, что регулярность мартингала относительно меры Р эквивалентна требованию равномерной интегрируемости семейства .

Теорема(нет в наших лекциях, хз зачем она). Пусть регулярный мартингал относительно меры Р, а семейство непрерывно справа. Тогда у процесса существует модификация с траекториями непрерывными справа и имеющими левый предел.

Доказательство. Так как - регулярный мартингал, существует - измеримая интегрируемая случайная величина такая, что . Тогда для каждого имеем Р - п. н.
.
Поэтому, если положить , то получим непрерывную справа модификацию.

Покажем теперь, что существует левый предел. Действительно, если бы с положительной вероятностью этот предел не существовал, то тогда среднее число пересечений отрезка снизу вверх за время обозначаемое через было бы равно , но . Указанное противоречие довершает доказательство теоремы.

Теорема 79. Пусть - непрерывно справа, а супермартингал относительно меры Р. Супермартингал имеет непрерывную справа модификацию тогда и только тогда, когда функция времени непрерывна справа.

Доказательство. В силу условий теоремы Р - п. н., а из того, что , имеем
Р - п. н. для .

Отметим Р - п. н. тогда и только тогда, когда .

Пусть . Так как равномерно интегрируемо, то . Стало быть, Р - п. н. тогда и только тогда, когда . Поскольку как функция убывает, то это равносильно ее непрерывности справа в точке .

Пусть - непрерывная справа модификация супермартингала . Тогда для каждого (как функция времени, в силу приведенных выше рассуждений) непрерывна справа. Обратно, если функция времени непрерывна справа, то процесс представляет собой непрерывную справа модификацию. Доказательство закончено.

45. Квадратично интегрируемые мартингалы. Неравенство Колмогорова (теорема 80).

Определение. Мартингал относительно меры Р назовем квадратично интегрируемым, если .

Теорема 80 (неравенство Колмогорова). Пусть – квадратично интегрируемый мартингал. Тогда для любого

.

Доказательство. Пусть , где . Очевидно, что и - марковские моменты, причем Р - п. н. Поэтому . Заметим теперь, что .
Поэтому в силу неравенства Чебышева, имеем .
Доказательство закончено.

46. Марковские моменты, моменты остановки и их свойства.

Определение. Пусть - случайная величина называется марковским моментом, если для .

Конечный марковский момент называется моментом остановки (т. е. ).

Пример. Пусть непрерывен справа со значениями в тогда момент первого достижения уровня : , является марковским моментом.

Теорема 81. 1) Пусть - марковский момент, тогда
2) Пусть - марковский момент, тогда .

Доказательство. 1) Так как - марковский момент, то . Отсюда при получаем .

2) Так как , то из пункта 1) получаем утверждение. Доказательство закончено.

Теорема 82. Если и - марковские моменты, то: 1) - марковский момент, 2) - марковский момент.

Докажите самостоятельно.

Возникает естественный вопрос: при каких условиях случайная величина является марковским моментом?

Теорема 83. Случайная величина - марковский момент, если для .

Доказательство. Так как - случайная величина, то . Докажем, что . Из определения случайной величины следует, что Пересечем все эти множества, имеем , для . Поэтому в силу условий теоремы имеем .Доказательство закончено.

Теорема 84. Если есть два марковских момента, то и - марковские моменты.

47. Стохастические интервалы. График марковского момента. Тонкое множество, исчерпывающая последовательность. Доказать, что если множество тонкое, то существует исчерпывающая последовательность (теорема 85).

Определение. Пусть — марковские моменты (м. м.), причём Р - п. н.. Множества

называются, соответственно, открытым справа, открытым слева, открытым справа и слева, за­мкнутым стохастическими интервалами и обозначаются, соответственно, через

Через обозначим множество и назовём его графиком марковского момента .

Определение. Случайное множество А называется тонким, если оно имеет вид , где - последовательность моментов остановки. Если, кроме того, последовательность такая, что при , то такую последовательность назовём исчерпывающей множество A.

Теорема 85. Тонкое множество А и все его сечения не более чем счётны, кроме того, существует исчерпывающая последовательность моментов остановки.