Учебный год. Лектор Хаметов В.М. 2 страница

Продолжая этот процесс далее мы построим последовательность функции распределения , которая, очевидно, сходится при к некоторой неубывающей непрерывной функции распределения . Очевидно, что точки роста функции распределения имеет нулевую меру Лебега, так как общая длина интервалов, на которых принимает постоянные значения равна 1. Действительно, общая длина интервалов постоянства функции равна

Пусть - множество точек роста функции распределения , тогда из последнего рассуждения следует, что (в этих случаях говорят, что мера, соответствующая этой функции распределения сингулярна по отношению к мере Лебега ).

3. Теорема Лебега (теорема 5). Функция распределения.

Теорема 4. (Лебега) Любая функции распределения на прямой R¹ представима в виде:

,

где и , а - дискретная, - абсолютно непрерывная, - сингулярная функции распределения.

Пусть F: R¹ [0,1] - измеримая функция, обладающая свойствами:

1) неубывающая;

2) F(- )= 0 F()= 1, где F(- )= и F() = ;

3) непрерывна справа и имеет предел слева в каждой точке R¹.

Определение. Всякая функция F(x), удовлетворяющая свойствам 1)- 3) называется функцией распределения на R¹.

4. Задание вероятностной меры на (Rⁿ,B(Rⁿ))(теорема 6). Примеры.

Измеримое пространство (Rⁿ,B(Rⁿ)).

Пусть - измеримая функция, непрерывная справа (по совокупности измененных), имеющая левый предел. Введем оператор , действующей по правилу

.

Определение. Всякая непрерывная справа функция удовлетворяющая условиям:

1) для любых , i = ;

2) ;

3) , если хотя бы одна из координат n-мерного вектора принимает значение ,

называется -мерной функцией распределения.

Очевидно следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть - -мерная функция распределения. Тогда на (Rⁿ,B(Rⁿ)) существует единственная вероятностная мера Р такая, что , где , .

Примеры. 1) Пусть

=

мерная функция распределения вероятностей, которой соответствует мера Лебега на .

2) ,где

.

5. Задание вероятностной меры на (R^∞,B(R^∞))(теорема 7)

Измеримое пространство (R ,B(R ))

Обозначим через R :() , где Rⁿ – цилиндрическое множество в с основанием B(Rⁿ). Пусть последовательность вероятностных мер определенных, соответственно, на (R¹, B(R¹)), (R², B(R²)), обладает следующим свойством:

(1)

где , .

Условие (1) называют условием (свойством) согласованности.

Теорема 7. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на (R , B(R )). Пусть - последовательность вероятностных мер, соответственно, на (R¹, B(R¹)), (R², B(R²)), обладающая свойством согласованности. Тогда существует единственная мера Р на (R , B(R )) такая, что для каждого P P для .

6. Задание вероятностной меры на (R^Т,B(R^Т)). Теорема Колмогорова (теорема 8 – без доказательства)

Измеримое пространство (R^Т , B(R^Т))

Пусть Т=[0,T] – произвольное множество индексов R _t - числовая прямая, соответствующая индексу . Рассмотрим произвольный конечный неупорядоченный набор различных индексов , и пусть P _t - вероятностная мера на (R ,B(R )), где R = R R .

Определение. Будем говорить, что семейство вероятностных мер ( - пробегает множество всех конечных неупорядоченных наборов), является согласованным, если а) для любых двух наборов и причем , выполняется равенство

,

где , б) выполнено (1).

Теорема 8. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на

(R^Т ,B(R^Т))). Пусть - согласованное семейство вероятностных мер на (R ,B(R )). Тогда существует единственная вероятностная мера Р на (R^Т ,B(R^Т)) такая, что для всех неупорядоченных наборов различных индексов и B(R ).

7. Определение случайной величины. Примеры. Разбиение. Дискретная(простая) случайная величина. Распределение вероятностей случайной величины.

Пусть (, F) и (R¹,B(R¹)) - измеримые пространства.

Определение. Действительная функция определенная (, F), принимающая значения в R¹ называется F – измеримой или случайной величиной, если: B(R¹) F (то есть, прообраз является измеримым множеством в ).

Если =(Rⁿ,B(Rⁿ)), то B(Rⁿ) – измеримые функции называются борелевскими.

Простейшим примером случайной величины является

Определение. Случайная величина представимая в виде

(2)

где F называется дискретной. Если число слагаемых в сумме в (2) конечно, то случайная величина называется простой.

Замечание. Случайная величина это некоторая характеристика эксперимента, результаты которого зависят от случая . Требование измеримости важно. Действительно, если на (, F) задана вероятностная мера Р и , то в этом случае можно говорить о вероятности события, состоящего в том, что значение случайной величины принадлежит борелевскому множеству В.

Определение. Вероятностная мера на (R,B(R)) с , B(R¹), называется распределением вероятностей случайной величины на (R, B(R)).

Определение. Функция Р , где R¹, называется функцией распределения случайной величины .

8. Классификация случайных величин. Свойства случайных величин (лемма 9, 10, теорема 11). Расширенная случайная величина. Теорема Бореля (теорема 12)

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна. Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если , R¹.

Вопрос: Когда функция обозначаемая является случайной величиной? Для этого надо проверить условие F для любого B(R¹).

Лемма 9. Пусть  – некоторая система множеств такая, что (e)=B(R¹). Для того, чтобы была F - измеримой необходимо и достаточно, чтобы F для всех e.

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность. Пусть D – система борелевских множеств , для которых F. Известно, что:

i) , ii) , iii) = .

Отсюда следует, что система  – является -алгеброй, значит
D B(R¹) и (e) , следовательно D=B(R¹).

Лемма 10. Пусть : R¹ R¹ - борелевская функция, а - случайная величина. Тогда сложная функция (то есть ) - случайная величина.

Доказательство. Действительно

,

так как B(R¹), B(R¹).

Доказательство закончено.

Определение. Функция на (, F) со значениями в = называется расширенной случайной величиной, если: для B(R¹) F.

Теорема 11. 1) Для любой случайной величины найдется последовательность простых случайных величин таких, что и при для всех .

2) Если случайная величина , то найдется последовательность простых случайных величин таких, что для всех .

Доказательство. Начнем с пункта 2). Положим , и

непосредственной проверкой, устанавливается, что для всех . Отсюда следует и доказательство пункта 1) так как можно представить в виде , где .

Определение. Пусть - случайная величина. Пусть множества из вида , B(R¹). Наименьшую -алгебру порожденную такими множествами называют -алгеброй, порожденной случайной величиной и обозначают ее через F^x.

Если - борелевская функция, то из леммы 9 следует, что - случайная величина, причем F^x - измерима. Оказывается, справедливо и обратное утверждение.

Теорема 12. (Бореля). Пусть –измеримая случайная величина. Тогда найдется борелевская функция : R¹ R¹ такая, что , т.е. для каждого .

9. Случайный элемент. Примеры случайных элементов. Определение случайного процесса. Независимые случайные элементы.

Определение. Пусть (, F) и (E, e) - измеримые пространства. определенная на принимающая значения в E называется F / e – измеримой функцией или случайным элементом (со значениями в E e F). (3)

Примеры случайных элементов:

1) Если (E, e) = (R¹,B(R¹)), то определение случайного элемента совпадает с определением случайной величины.

2) Пусть (E, e) = (Rⁿ,B(Rⁿ)). Тогда случайный элемент называется n - мерным случайным вектором. Если - проекция Rⁿ на -ую координату, то = , где . Ясно, что - обычные случайные величины. Действительно, для B(R¹) R¹,.., R¹, R¹ R¹ }=
(R¹ R¹ R¹ R¹) F.