Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение. Упорядоченый набор случайных величин будет называться - мерным случайным вектором.
В соответствии с этим определением всякий случайный элемент со значениями в Rn будет - мерным случайным вектором. Справедливо обратное утверждение: всякий n- мерный случайный вектор = есть случайный элемент в Rn. Действительно, если B(R1), , то F, то наименьшая -алгебра, порожденная всеми совпадает с B(Rn). поэтому для B(Rn) F.
3) Пусть (E, e) = (RТ,B(RТ)), Т – подмножество числовой прямой. В этом случае всякий случайный элемент представим в виде с называется случайной функцией с временным интервалом Т.
Определение. Пусть R1. Совокупность называется случайным процессом с временным интервалом Т. Если , то - называется случайным процессом с дискретным временем или случайной последовательностью. Если , то - называется случайным процессом с непрерывным временем.
Определение. Пусть - случайный процесс. Для каждого функция - называется реализацией или траекторией процесса, соответствующего исходу .
Определение. Пусть - случайный процесс. Вероятностная мера Р на (RТ,B(RТ)) с P P , B(RТ) называется распределением вероятностей процесса Х.
Определение. Вероятностная мера P P , где B(Rn), , называется конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса , а n-мерная функция распределения , где , называется конечномерными функциями распределения процесса .
Определение. Пусть (, F, P) - вероятностное пространство и набор ( e ) - измеримых пространств, где - произвольное множество. Будем говорить, что - измеримые функции независимы в совокупности, если для любого конечного набора элементы - независимы, т.е. для P P
10. Интеграл Лебега. Свойства математического ожидания.
Пусть (, F, P) - конечное вероятностное пространство, т.е. существует набор множеств таких, что при и , а - простая случайная величина.
Определение. Математическим ожиданием простой случайной величины , обозначаемым через М , называется величина M P (A k). Это определение корректно, так как оно не зависит от способа представления случайной величины . Для математического ожидания будем использовать следующее обозначение: P P.
Определение. Интеграл Лебега относительно вероятностной меры Р случайной величины , обозначаемый М , определяемый равенством M M называется математическим ожиданием случайной величины .
Это определение будет корректным, если значение предела не зависит от способа выбора аппроксимирующей последовательности (иначе говоря, если и , то M = M ).
Пусть теперь - произвольная случайная величина. Обозначим .
Определение. Говорят, что математическое ожидание случайной величины существует, если хотя бы одна из величин или конечна, т.е. . В этом случае по определению полагается , а - называется интеграл Лебега от по мере Р.
Определение. Говорят, что математическое ожидание случайной величины конечно, если и . Отсюда следует, что - конечно тогда и только тогда, когда .
Наряду с можно рассматривать и , если они определены, то их называют моментами - порядка, где r = 1,2,…,k.
Свойства математического ожидания.
А) Пусть и у случайной величины существует , тогда существует и .
Доказательство. Для простых функций это утверждение очевидно. Пусть , где - простые случайные величины и , следовательно . Значит .
В) Пусть , тогда .
С) Если существует , то .
Доказательство. Так как , то из А) и В) следует, что , то есть .
D) Если существует , то для каждого A F существует . Если конечно, то - конечно.
Доказательство следует из пункта В), так как , .
Е) Если и - случайные величины, причем и , то .
Доказательство. Пусть и - последовательность простых функций таких, что и . Тогда и . Кроме того и . Значит .
F) Если , то .
G) Если , Р- п.н. и , то и .
Доказательство. Пусть , тогда , где . В силу Е) .
Н) Пусть и , тогда Р - п.н.
Доказательство. Обозначим . Очевидно, что . поэтому в силу свойства В) , следовательно , значит для всех , но .
I) Пусть и - случайные величины такие, что и и для всех . Тогда Р - п.н..
Доказательство. Пусть . Тогда . Поэтому , тогда по свойству Е) , а в силу Н) P - п.н., значит Р (В)=0.
J) Пусть - расширенная случайная величина и , тогда P - п.н..
Доказательство. Действительно, пусть и Р (А) > 0. Тогда , что противоречит предположению .
11. Сходимость по вероятности и с вероятностью один случайных величин. Теорема о монотонной сходимости (теорема 15).
Пусть на задано последовательность случайных величин.
Определение. Последовательность случайных величин называется сходящейся по вероятности к случайной величине , обозначается или , если для при .
Теорема 13. Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине тогда и только тогда, когда при .
Определение. Последовательность случайных величин называется сходящейся с вероятностью 1 к случайной величине , если , обозначается .
Лемма 14. (Бореля-Кантелли) Пусть последовательность событий и . Если , то Р( А ) = 0.
Доказательство. В силу свойства вероятности имеем
Р (А) = .
Доказательство закончено.
Теорема 15 (О монотонной сходимости) Пусть
случайные величины. Тогда справедливы следующие утверждения:
а) если ;
б) если .
Доказательство. а) Предположим, что . Пусть для каждого - последовательность простых случайных величин таких, что при . Обозначим . Тогда очевидно, что . Пусть , поскольку для , то переходя к пределу при получим, что для любого , значит . Так как случайные величины простые и , то .
С другой стороны, очевидно, что . Поэтому , значит = .
Пусть теперь - случайная величина с . Если , то в силу свойства В) математических ожиданий = , утверждение доказано.
Пусть , тогда вместе с условием получаем: . Очевидно, что для всех . Поэтому, согласно доказанному и значит по свойству Е) математических ожиданий . Так как , то при .
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 219 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!