Дифференцируемость ФНП. Частные производные

Формула Тейлора. Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума. Условный экстремум. множество . Если определено правило, по которому каждой точке ставится в соответствие некоторое число (единственным образом), то говорят, что на множестве D определена (однозначная) функция . множество D называется областью определения функции, а множество всех соответствующих значений u: Q = { u } – множеством значений. Часто функцию u = F (x) называют отображением

Задание ФНП может быть неявным: F (x,u) = 0 или параметрическим Как и в случае одной переменной, определяется предел ФНП:

Вместо условия можно писать .

Тем не менее, понятие предела ФНП оказывается более сложным за счет того, что стремление т. х к х^о может осуществляться большим числом способов, нежели в случае одной переменной.

По аналогии с функциями одной переменной, вводятся бесконечно малые и большие величины и понятие непрерывности:

Функция называется бесконечно малой при , если

Функция называется бесконечно большой при , если

Функция называется непрерывной в т. , если Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Остаются верными все свойства непрерывных функций: арифметические свойства, теорема о сохранении знака. Теоремы об ограниченности непрерывной функции, о переходе через промежуточные значения и о достижении максимума и минимума формулируются для замкнутых областей. Верна также теорема о непрерывности сложной функции: пусть функция непрерывна в т. х^о, а функции в т. В этом случае функция

§3. Производные ФНП.

Рассмотрим функцию u = F (x), определенную в некоторой области D. Пусть − фиксированная точка. Дадим координате х ₁ приращение . Если существует конечный предел , то он называется частной производной функции F (x) по переменной х ₁ и обозначается

Аналогично определяются частные производные по всем остальным переменным.

Замечания.

1. Частная производная по какой либо переменной есть обычная производная, при условии, что все остальные переменные – константы.

2. Последнее обозначение, в отличие от функций одной переменной, не равно частному от деления двух дифференциалов, а является неразрывным символом.

В частном случае двух переменных частная производная равна тангенсу наклона касательной к сечению поверхности плоскостью, перпендикулярной ко второй переменной.

§5. Дифференциал ФНП.

Определение 1. Функция u = F (x) называется дифференцируемой в т. х, если ее приращение может быть представлено в следующем виде:

где

A _ţ = A _ţ(x) и не зависит от Δ х, а − бесконечно малая при

Величина вектора Δ х равна:

Используя это обозначение, можно написать

Легко показать, что

{ }

Определение 2. Главная и линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом:

Теорема 1. Функция, дифференцируемая в т. х ^o − непрерывна в этой точке. { }

Теорема 2. (Необходимое условие дифференцируемости) Если F (x) дифференцируема в т. х, то она имеет все частные производные в этой точке, причем

{Пусть }

Отсюда, Если х − независимая переменная, то и окончательно

Теорема 3. (Достаточное условие дифференцируемости) Пусть F(x) имеет все частные производные в окрестности т. х ^о, непрерывные в самой этой точке. Тогда функция дифференцируема в т. х ^о.

{без доказательства}

Замечание. Для дифференцируемости функции одной переменной достаточно существования производной.

Дифференциал функции u называют полным дифференциалом.

Определение 3. Выражение называется дифференциальной формой.

Теорема 4. Дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u (х, у) тогда и только тогда, когда выполнено условие

{1.Необх.: Тогда

2. Дост. – без доказательства}

§8. Формула Тейлора для ФНП.

Для функции одной переменной формула Тейлора имеет вид:

Если обозначить , то формулу Тейлора можно написать в дифференциальной

форме: . Оказывается, в случае нескольких переменных для (n +1) раз дифференцируемой в окрестности т. х ^о функции формула Тейлора имеет такой же вид:

{без вывода}

Теорема 1 (Необходимое условие локального экстремума). Пусть функция u = F (x) имеет в т. х ^о локальный экстремум. Если у нее в этой точке существуют частные производные, то они равны нулю.

{ Зафиксируем все переменные кроме х ₁ в т. х ^о: Тогда

По Т. Ферма ,

Замечание 2. Условия Т.1 не являются достаточными: u = xy, т. О(0,0).

Теорема 2 (Достаточное условие локального экстремума). Пусть функция u (x) дважды дифференцируема в стационарной точке. Если 2 – ой дифференциал в этой точке есть знакопостоянная квадратичная форма от дифференциалов независимых переменных, то функция в ней имеет экстремум: максимум, если и минимум, если

§16. Условный экстремум ФНП.

Найти экстремум функции при наличии дополнительных условий:

Замечание. Очевидно, задачи условного экстремума и нахождения наибольшего и наименьшего значений в ограниченной замкнутой области (§15) тесно связаны.

Определение 1. Точка х ^о, удовлетворяющая уравнениям связи, называется точкой локального условного (относительного) экстремума, если такое, что для , являющегося решением уравнений связи, выполняется неравенство

Как и в случае обычного экстремума, необходимым условием является равенство нулю первого дифференциала функции и. Точки, удовлетворяющие этому условию и уравнениям связи, также будем называть стационарными.

Билет 8 вопрос 2. Формальные теории первого порядка. Интерпретации. Истинность и выполнимость. Общезначимые формулы.

формализованым аналогом обычной логики, логика первого порядка дает возможность строго рассуждать об истинности и ложности утверждений и об их взаимосвязи, в частности, о логическом следовании одного утверждения из другого, или, например, об их эквивалентности. Рассмотрим классический пример формализации утверждений естественного языка в логике первого порядка.

Возьмем рассуждение «Каждый человек смертен. Конфуций — человек. Следовательно, Конфуций смертен». Обозначим «x есть человек» через ЧЕЛОВЕК (x) и «x смертен» через СМЕРТЕН (x). Тогда утверждение «каждый человек смертен» может быть представлено формулой: x(ЧЕЛОВЕК (x) → СМЕРТЕН (x)) утверждение «Конфуций — человек» формулой ЧЕЛОВЕК (Конфуций), и «Конфуций смертен» формулой СМЕРТЕН (Конфуций). Утверждение в целом теперь может быть записано формулой

( x(ЧЕЛОВЕК (x) → СМЕРТЕН (x)) ЧЕЛОВЕК (Конфуций)) → СМЕРТЕН (Конфуций)

Логика первого порядка обладает рядом полезных свойств, которые делают ее очень привлекательной в качестве основного инструмента формализации математики. Главными из них являются полнота (это означает, что для любой замкнутой формулы выводима либо она сама, либо ее отрицание) и непротиворечивость (ни одна формула не может быть выведена одновременно со своим отрицанием). При этом если непротиворечивость более или менее очевидна, то полнота — нетривиальный результат, полученный Гёделем в 1930 году (теорема Гёделя о полноте). По сути теорема Гёделя устанавливает фундаментальную эквивалентность понятий доказуемости и общезначимости.

. Формула А логики предикатов назы­вается выполнимой в области М, если существуют зна­чения переменных, входящих в эту формулу и отнесен­ных к области М, при которых формула А принимает ис­тинные значения.

Формула А логики предикатов назы­вается выполнимой в области М, если существуют зна­чения переменных, входящих в эту формулу и отнесен­ных к области М, при которых формула А принимает ис­тинные значения.

Формула А называ­ется тождественно истинной в области М, если она при­нимает истинные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.

Формула А называется общезначи­мой, если она тождественно истинная во всякой области.

Формула А называется тождествен­но ложной в области М, если она принимает ложные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.

Из приведенных определений следует:

1. Если формула А общезначима, то она и выполнима на всякой области.

2. Если формула А тождественно истинна в области М, то она выполнима в этой области.

3. Если формула А тождественно ложна в области М, то она невыполнима в этой области.

4. Если формула А невыполнима, то она тождественно ложна в любой области.

Для того, чтобы формула А была обще­значима, необходимо и достаточно, чтобы ее отрицание было невыполнимо.

Для того, чтобы формула А была выпол­нимой, необходимо и достаточно, чтобы формула была необщезначима

Теоре́ма Гёделя о полноте́ исчисле́ния предика́тов является одной из фундаментальных теорем математической логики: она устанавливает однозначную связь между логической истинностью высказывания и его выводимостью в логике первого порядка.

Формула является выводимой в исчислении предикатов первого порядка тогда и только тогда, когда она общезначима (истинна в любой интерпретации при любойподстановке).

В классическом случае интерпретация формул логики первого порядка задается на модели первого порядка, которая определяется следующими данными

· Несущее множество ,

· Семантическая функция , отображающая

· каждый -арный функциональный символ из в -арную функцию ,

· каждый -арный предикатный символ из в -арное отношение .

Обычно принято, отождествлять несущее множество и саму модель, подразумевая неявно семантическую функцию, если это не ведет к неоднозначности.

Предположим — функция, отображающая каждую переменную в некоторый элемент из , которую мы будем называть подстановкой. Интерпретация терма на относительно подстановки задается индуктивно

· , если — переменная,

·

В таком же духе определяется отношение истинности формул на относительно

· , тогда и только тогда, когда ,

· , тогда и только тогда, когда — ложно,

· , тогда и только тогда, когда и истинны,'

· , тогда и только тогда, когда или истинно,

· , тогда и только тогда, когда влечет ,

· , тогда и только тогда, когда для некоторой подстановки , которая отличается от только на переменной ,

· , тогда и только тогда, когда для всех подстановок , которые отличается от только на переменной .

Формула , истинна на , что обозначается как , если , для всех подстановок . Формула называется общезначимой, что обозначается как , если для всех моделей . Формула называется выполнимой, если хотя бы для одной .

· Символы переменных (обычно и т. д.),

· Пропозициональные связки: ,

· Кванторы: всеобщности и существования ,

· Служебные символы: скобки и запятая.

Перечисленные символы вместе с символами из и образуют Алфавит логики первого порядка. Более сложные конструкции определяются индуктивно:

· Терм есть символ переменной, либо имеет вид , где — функциональный символ арности , а — термы.

· Атом имеет вид , где — предикатный символ арности , а — термы.

· Формула — это либо атом, либо одна из следующих конструкций: , где — формулы, а — переменная.

Переменная называется связанной в формуле , если имеет вид либо , или же представима в одной из форм , причем уже связанна в , и . Если не связанна в , ее называют свободной в . Формулу без свободных переменных называют замкнутой формулой, или предложением. Теорией первого порядка называют любое множество предложений.

Система логических аксиом логики первого порядка состоит из аксиом исчисления высказываний дополненной двумя новыми аксиомами:

· ,

· ,

где — формула, полученная в результате подстановки терма вместо каждой свободной переменной , встречающейся в формуле .