Линейные неоднородные системы

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

— её расширенная матрица.

Матричное решение

Ма́тричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

.

Сначала убедимся в том, что определитель матрицы не равен нулю.

Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Далее найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

Подставляя переменные в формулу, получаем:

Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

Фундаментальное решение

Решим систему

Преобразуем её к

Тогда переменные и обязательно будут главными, возьмём также в качестве главной.

Заметим, что является частным решением.

Составим однородную систему:

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной , получим фундаментальную систему решения однородной системы:

Общее решение системы может быть записано так:

Автономные системы на плоскости. Фазовые портреты.

Пусть задана линейная однородная система второго порядка с постоянными коэффициентами:

Данная система уравнений является автономной, поскольку правые части уравнений не содержат в явном виде независимой переменной t.

В матричной форме система уравнений записывается как

Положения равновесия находятся из решения уравнения

Это уравнение имеет единственное решение X = 0, если матрица A является невырожденной, т.е. при условии det A ≠ 0. В случае вырожденной матрицы система имеет бесконечное множество точек равновесия.

Классификация положений равновесия определяется собственными значениями λ ₁, λ ₂ матрицы A. Числа λ ₁, λ ₂находятся из решения характеристического уравнения

В общем случае, когда матрица A является невырожденной, существует 4 различных типа точек равновесия: