Моделирование гауссовых СВ на основе ЦПТ

В технике и природе наиболее распространенное распределение случайных чисел - гауссовское или нормальное. Его плотность вероятности записывается следующим образом c помощью ЦПТ:

(*) Центральная предельная теорема:

Пусть имеется ряд независимых одинаково распределенных СВ х₁, х₂, х₃… Рассмотрим сумму этих величин:

Тогда

у = по распределению при ,

где μ – математическое ожидание каждой величины х_i, а δ² – дисперсия.

f(y) =

Функция распределения плотности вероятности:

8. Метод МСВ с заданным видом функции плотности распределения вероятностей на основе исходного распределения unif [0,1]

Метод Неймана является методом, позволяющим получить значения СВ в соответствии с заданным законом распределения. Этот метод является достаточно универсальным он применим для моделирования всех СВ, значения которых не выходят за пределы ограниченного интервала (a,b), а также для СВ, законы распределения которых можно аппроксимировать усеченными.

На рис. изображена функция плотности распределения СВ Y, заданная на интервале (a, b). Максимальное значение функции обозначено W.

Алгоритм метода сводится к следующему:

с помощью датчика СЧ, равномерно распределенных на интервале (0,1), выбирают пары чисел (точка на рис.);

формируется преобразованная пара чисел, равномерно распределенных на интервале соответственно (a, b) и (0, W):

; ;

(3.19)

проверяется выполнение неравенства: .

Если неравенство выполнено, то и есть искомое значение СВ Y. На рис. это соответствует первой координате точки . В противном случае СЧ отбрасываются. Далее вновь генерируются СЧ и алгоритм повторяется.

9. Метод определения аналитического преобразования СВ unif [0,1] для получения требуемого вида функции плотности распределения вероятностей

Метод обратной функции для непрерывных случайных величин. Предположим, что случайная величина, определенная на интервале [a; b], имеет плотность распределения. Зная можно вычислить функцию распределения.

Теорема: Случайная величина, удовлетворяющая уравнению, имеет плотность распределения.

Найдем закон распределения величины полученной нелинейным преобразованием непрерывной СВ (рис. 2.1). Будем считать, что существует взаимно однозначное преобразование . Обратное преобразование обозначим .

Из рис. видно, что всегда, когда СВ попадает в интервал , СВ попадает в интервал . Поэтому выполняется равенство , откуда следует, что и при получаем соотношение .

Проинтегрируем левую и правую части , откуда находим функцию распределения .

Описанный выше метод моделирования называется методом обратных функций. Для моделирования СВ с заданной функцией распределения необходимо осуществить нелинейное преобразование вида . Формула означает решение уравнения , ~ unif [0,1].