Расчет среднего уровня и структурных средних в интервальных рядах распределения. Мода и медиана

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами попаданий в каждый из них значений величины. Интервальные ряды предназначены для анализа распределения непрерывно изменяющегося признака, значение которого чаще всего регистрируется путем измерения или взвешивания.

Для того, чтобы рассчитать средний уровень ряда, необходимо интервальный ряд распределения преобразовать в дискретный ряд распределения.

Пример:

Доход на душу населения(у.е)	Число жителей в % к итогу (f)	(X)
До 100
100-120
120-140
140-160
Свыше 160

Шаг в интервале равен разнице между концом и началом интервала. В нашем случае, 120-10=20. В случае до 100 началом интервала будет 80, а в случае свыше 160 концом интервала будет 180. Для того, чтобы рассчитать Х необходимо найти среднее между началом и концом интервала. x=(100+120)/2=110.

Для того чтобы найти средний уровень ряда необходимо вычислять по средней степенной взвешенной:
x‾=

Структурными средними в интервальном ряде распределения являются мода и медиана.

Мода (М₀) - значение варьирующего признака (х), имеющее наибольшую частоту. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

где:М₀— значение моды

х₀ — нижняя граница модального интервала

h — величина интервала

f_m — частота модального интервала

f_m-1— частота интервала, предшествующего модальному

f_m+1 — частота интервала, следующего за модальным

Медиана (М_е) - значение варьирующего признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда.

Медиана в интервальном ряду распределения рассчитывается по формуле:

где: М_е — искомая медиана

х₀ — нижняя граница интервала, который содержит медиану

h — величина интервала

∑f_i— сумма частот или число членов ряда

S_m-1 - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

f_m — частота медианного интервала

Пример. Найти моду и медиану.

Возрастные группы	Число студентов	Сумма накопленных частот ΣS
До 20 лет
20 — 25
25 — 30
30 — 35
35 — 40
40 — 45
45 лет и более
Итого

Решение:
В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).

Рассчитаем величину моды: