Вывод уравнения плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости

! Общее уравнение плоскости!. Пусть дана плоскость a, проходящая через точку М₀, заданную радиус-вектором r₀={x₀;y₀;z₀}, перпендикулярно вектору n={A;B;C}. Проведём радиус-вектор r={x;y;z} в произвольную точку М этой плоскости. Вектор М₀М=r–r₀ лежит в плоскости a и ^ вектору n (рис.1)Þих скалярное произведение М₀Мn=0. Выражая скалярное произведение векторов через их координаты, получем: A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Пусть дана плоскость, не параллельная ни одной из координатных осей и отсекающая на осях неравные 0 отрезки: ОМ=а, ON=b, OP=c. Уравнение этой плоскости имеет вид: a: Ax+By+Cz+D=0; A¹0, B¹0, C¹0, D¹0. Т.к. М(а;0;0)Îa, Aa+B0+C0+D=0ÞA= -D/a. Т.к. N(0;b;0)Îa, A0+Bb+C0+D=0ÞB= -D/b. Т.к. P(0;0;c)Îa, A0+B0+Cc+D=0ÞC= -D/c. Из a: Ax+By+Cz+D=0 следует: – Dx/a–Dy/b–Dz/c+D=0|:(-D); x/a+y/b+z/c=1– уравнение плоскости в отрезках.

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Пусть даны две непараллельныеплоскости: a:Ax+By+Cz+D=0, b: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, a не|| b, N₁^a, N₂^b. Линейный угол g двугранного угла, образованного этими плоскостями имеет стороны перпендикулярные к нормальным векторам N₁, N₂ этих плоскостейÞУгол g между плоскостями равен углу между векторами g=(N₁^Ù N₂), или дополняет его до 180°; g=180°-(N₁^Ù N₂) Þ cosg=±(N₁N₂)/(|N₁||N₂|)=|AA₁+BB₁+CC₁|/(ÖA²+B²+C²ÖA₁²+B₁²+C₁²). 1)Если a||bÞN1||N2ÛA/A₁=B/B₁=C/C₁; 2)Если a^bÞ N₁^N₂ÛN₁N₂=0 т.е. AA₁+BB₁+CC₁=0.