Система линейных уравнений. Метод Гаусса

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим
x = - 0,7.

№11. Вектор,сложение векторов, умножение вектора на скаляр, св-ва векторной суммы.

Величина, определяемая только своим численным значением называется скалярной (масса,площадь,объём,температура). Величина, кот-ая по мимо численного значения определяется ещё и направлением называется векторной (скорость,сила,ускорение). АВ=а А-начало, В-конец. Длина вектора АВ назыв. его модулем и обознач.:|АВ|=|а|=а=АВ. Векторы, параллельные одной прямой, назыв.колениарные. АВ||CD||EF, АВ↑↑EF, AB↓↑CD Два вектора назыв.равными, если 1)длина вектора АВ=длине вектора CD,т.е. |AB|=|CD|. 2)вектора АВ и CD-колениарны,т.е. AB||CD, 3) АВ↑↑CD. Из определения вектора=>,что вектор однозначно определяется своим направлением и длиной. Произведение вектора А на число М называется вектор b=m*a,такой что:1)|b|=|m|*|a|; 2)b‌‌‌‌‌‌‌‌‌||а; 3)если m>0,то b↑↑a, если m<0,то b↑↓a. В частности: -1*а-назыв.противоположным вектору а и обозн.—(-а). Вектор, длина кот-ого=1,назыв. единичным вектором. Очевидно,что а=|а|*а°,где а°=а/‌|а|-есть единичный вектор направления а. суммой двух векторов ОА=А и ОВ=b, приведённых к общему началу “о” назыв.диагональ D параллелограмма ОАDВ, построенного на векторах а и b. Суммой 3-х векторов ОА=а, ОВ=b, ОС=с не лежащих в одной плоскости назыв.диагональ ОМ параллелог-ма, построенного на этих векторах OM=OA+AN+NM=a+b+c. Разностью 2-х векторов а и b назыв.вектор с, кот-ым нужно сложить с вектором b, чтобы получить вектор а. a-b=cÛc+b=a. Очевидно, что a-b=a+(-b). Свойства:1)вектор a+b=b+a; 2)(a+b)+c=a+(b+c); 3)m(a+b)=ma=mb; 4)(m+n)a=ma+na. Векторы, параллельные одной плоскости назыв.комплонарными.

№12. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, разложение вектора по базису.

Векторы называются линейно независимыми, если . Векторы называются линейно зависимыми, если они не являются линейно независимыми, т.е. существуют числа такие, что . Упорядоченная система элементов e₁,…,e_n линейного пространства V называется базисом этого линейного пространства.

№13.Прямоугольная система координат. Координаты точки и вектора в системе координат. Длина вектора, направляющие косинусы вектора.

Система трёх взаимно ^ осей Ox, Oy, Oz с общим началом в т. О и одинаковой единицей масштаба наз. прямоугольной системой координат в пространстве. Направление осей можно задать единичными векторами i, j, k, которые наз. ортами этих осей соответственно. Пусть дана прямоуг. система координат и произвольная т.М в пространстве. OM-радиус-вектор. Проекции радиус-вектора ОМ z,y,z на оси координат наз. декартовыми(прямоугольными) координатами т.М в пространстве. |OM|=Öx²+y²+z². |ОМ|-длина вектора. Направляющие косинусы вектора ОМ: Пусть в прямоуг. системе координат даны две т-ки А и В. АВ=r₁-r₂; пр_OxAB=x₂–x₁; пр_OyAB=y₂–y₁; пр_OzAB=z₂–z₁; |AB|=Ö(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²+(z₂–z₁)². Направляющие косинусы вектора ОМ: cosa=x/|OM|;cosb=y/|OM|; cosg=z/|OM|. сos²a+ сos²b+ сos²g= (x/|OM|)²+(y/|OM|)²+(z/|OM|)²=(x²+y²+z²)/(x²+y²+z²)=1.