Смешанное произведение векторов и его свойства

Умножим вектора а´b, а затем полученный вектор u скалярно умножим на вектор с, тогда получим число, которое наз. смешанным произведением a,b,c: (a´b)c -число; a={a₁+a₂+a₃}; b={b₁+b₂+b₃}; c={c₁+c₂+c₃}; u={u₁+u₂+u₃}; (a´b)c=uc= u₁c₁+u₂c₂+u₃c₃=(*). Св-ва: 1)От перестановки двух сомножителей смешанное произведение меняет знак, сохраняя абсолютную величину(т.к. при этом меняются две строки определителя); 2)Операции скалярного и векторного умножений в смешанном произведении можно поменять местами т.к. по св-ву (1) (a´b)c=-(c´b)a=(b´c)a=a(b´c), поэтому смешанное произведение часто записывают abc, опустив скобки и знаки действий, т.к. безразлично какие два рядом стоящих вектора перемножаются векторно, а какие скалярно. Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Пусть OA=a, OB=b, OC=c– некомпланарны(правая связка)(рис.1). Т.к. векторы a,b,c- правая связка, то вектор u будет направлен в ту же сторону, что и с. V_п=S_ABCD H=|(a´b)|пр_uc=|u|пр_uc=uc=(a´b)c. Таким образом V_п=±(a´b)c причём «+» берётся если a,b,c- правая связка, и «-» если левая. V_п=|(a´b)c|; V_пир=1/6|(a´b)c| (рис.2). 1)Пусть a,b,c- компланарны, или какие-то два из трёх векторов коллинеарны: a||bÞu=a´b=0; 2)Или с лежит в плоскости двух других векторов а и b, т.е. проекция вектора с на вектор u пр_uc=0. Но и в том и в другом случае имеем, что смешанное произведение a,b и c будет равно (a´b)c=|u|пр_uc=0. Обратно: (a´b)c=0Þa´b=0 или пр_uc=0. a,b,c -компланарны Û(a´b)c=0 или (*1).

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

НЕТ