Генеральная совокупность и выборка

Глава 6. Элементы математической статистики

Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов Статистическими данными называют сведения об объектах достаточно большой совокупности, обладающих определенными признаками.

Основы выборочного метода

Генеральная совокупность и выборка

Установление статистических закономерностей, присущих массовым случайным явлениям, основано на изучении статистических данных – сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий нас признак (случайная величина Х).

Пусть требуется изучить множество однородных объектов (это множество называется статистической совокупностью) относительно некоторого качествен­ного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали.

Лучше всего произвести сплошное обследование, т.е. изучить каждый объект. Однако в большинстве случаев по разным причинам это сделать невозможно. Препятствовать сплошному обследованию может большое число объектов, их недоступность, существенные материальные затраты. Если, например, нужно знать среднюю глубину воронки при взрыве снаряда из опытной партии, то, производя сплошное обследование, мы уничтожим всю партию.

Если сплошное обследование невозможно, то из всей совокупности выбирают для изучения часть объектов.

Определение 6.1.1. Статистическая совокупность, состоящая из всех объектов, которые (по крайней мере, теоретически) подлежат обсле­дованию, называется генеральной совокупностью.

Например, множество всех студентов 1-го курса высших учебных заведений страны представляет собой генеральную совокуп­ность. Однако если нас интересует распределение такого призна­ка, как, например, рост студентов, то, очевидно, крайне затрудни­тельно (если вообще возможно) провести измерение роста всех студентов и обработать эти результаты. Реальными являются от­бор некоторого ограниченного числа студентов из их общего коли­чества, измерение их роста и обработка полученных результатов.

Определение 6.1.2. Множество объектов, случайным образом отобранных из генеральной совокупности, называется вы­боркой.

Случайность отбора необходима для того, чтобы свойства объектов выборки наилучшим образом отра­жали соответствующие свойства генеральной совокупности или, как говорят, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Считается, что выборка репрезентативна, если все объекты генеральной совокуп­ности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку, т.е. отбор производится случайно. Например, если в предыдущем примере вся выборка будет сделана из студентов одного вуза, то она не будет репрезентативной. Репрезентативная выборка в данном случае должна состоять из случайно выбранных студентов, случайно отобранных вузов страны.

Определение 6.1.3. Число объектов генеральной совокупности и выборки называются соответственно объемом генеральной совокупности и объемом вы­борки.

Если выборку отбирают по одному объекту, который обследуют и снова возвращают в генеральную совокупность, то выборка назы­вается повторной. Если объекты выборки уже не возвращаются в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной. На практике чаще встречается бесповоротная выборка. Если объем выборки составляет небольшую долю объема генеральной совокуп­ности, то разница между повторной и бесповоротной выборками незна­чительна.