Геометрические и физические приложения определенного интеграла

1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y =f(x)(f(x)>0), прямыми x = a, x = b и отрезком [ a, b ] оси Ох, вычисляется по формуле

2. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f (x) и y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a, x = b, находится по формуле

3. Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x (t), y = y (t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой и прямыми х=a, x= b, находится по формуле

4. Пусть S (x)- площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, тогда объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси плоскостями х=а и х= b, находится по формуле

5. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f (x) и прямыми y=0, х=а и х= b, вращается вокруг оси Ох, тогда объем тела вращения вычисляется по формуле

6. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная кривой х= g (y) и

прямыми x =0, y = c и y = d, вращается вокруг оси О y, тогда объем тела вращения вычисляется по формуле

7. Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением y = f (x) (или x = F (y)), то длина дуги определяется формулой

19.Определение двойного интеграла,св-ва.

Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций.

1. Аддитивность. Если функция f (x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D ₁ и D ₂, то функция f (x, y) интегрируема в каждой из областей D ₁ и D ₂, причем

2. Линейное свойство. Если функции f (x, y) и g (x, y) интегрируемы в области D, а α и β - любые вещественные числа, то функция [ α · f (x, y) + β · g (x, y)] также интегрируема в области D, причем

3. Если функции f (x, y) и g (x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

4 Если функции f (x, y) и g (x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f (x, y) ≤ g (x, y), то

5. Если функция f (x, y) интегрируема в области D, то и функция | f (x, y)| интегрируема в области D, причем

(Конечно, из интегрируемости | f (x, y)| в D не вытекает интегрируемость f (x, y) в D.)

6. Теорема о среднем значении. Если обе функции f (x, y) и g (x, y) интегрируемы в области D, функция g (x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f (x, y) в области D, то найдется число μ, удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула

21. Числовые ряды

Определение 1. Пусть задана бесконечная числовая последовательность u₁, u₂,…,u_n,…. Выражение

называется числовым рядом. Числа u₁, u₂,…,u_n,… называются первым, вторым, …, n- м, … членами ряда. u_n также называется общим членом ряда.

Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:

Определение 3. Если существует конечный предел то он называется суммой ряда (1), а ряд (1) называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся и суммы не имеет.

20. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

Пример. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле .

Решение. Вычисление этого интеграла производится повторным интегрированием: сначала вычисляется интеграл , а затем получившаяся функция интегрируется по переменной х на отрезке [1;3].

Для изменения порядка интегрирования необходимо сначала начертить область интегрирования D, которая ограничена линиями х=1, х=3, y=-x, y= -x. Уравнения линий берутся в соответствии с пределами интегрирования. На рисунке область D – это трапеция ABFK. Координаты точек A,B,F,K находим, решая соответствующие системы уравнений. Таким образом получили A(1;1), B(3;3), F(3,-3), K(1;-1).

При изменении порядка интегрирования первое интегрирование теперь проводится по переменной y, а второе -–по переменной x. В этом случае при задании области D переменная y изменяется от –3 до 3, а переменная x от линии FKAB до линии FB. Если прямая FB задается одним уравнением х=3, то ломаная FKAB – тремя: х=1, y=-x, y= -x. Таким образом, область интегрирования D имеет смысл представить как объединение трех областей, каждая из которых задается своей системой неравенств:

FKE:

KACE:

ACB: .

Нашли, что исходный двойной интеграл после замены порядка интегрирования записывается в виде суммы трех двойных интегралов:

+ +