Геометрические приложения определённого интеграла

Вычисление площади плоской области. Если f (x) определена, непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a, b ], то площадь множества P ={(x, y): a ≤ x ≤ b, 0≤ y ≤ f (x)} выражается формулой:

Множество Р называется криволинейной трапецией, порожденной графиком функции f (x) на [ a, b ].

Если f (x) непрерывна и неположительная на отрезке [ a, b ] и P ={(x, y): a ≤ x ≤ b, f (x)≤ y ≤0}, то

.

Если функции f (x) и g (x) определены и непрерывны на [ a, b ], причем f (x)≥ g (x) x [ a, b ], то площадь области P, заключенной между графиками функций f (x), g (x) и прямыми x = a,x = b, равна:

.

Примеры. 1)Вычислить площадь, образованную одной аркой синусоиды.

Решение. Область имеет вид:

2)Вычислить площадь множества, ограниченного эллипсом.

Решение. Из канонического уравнения эллипса имеем:

Тогда площадь будет равна:

.

3)Найти площадь области, ограниченной кривыми y = x и y = x ²-2.

Решение. Найдем точки пересечения кривых.

Приравнивая ординаты, получим: x ²-2= x откуда Тогда площадь будет равна

.

Вычисление длины кривой. Пусть Г кривая, которая является графиком функции y=f(x), дифференцируемой на отрезке , то длина этой кривой вычисляется по формуле:

.

Пример. Вычислить длину дуги верхней ветви полукубической параболы , если .

Решение. Из уравнения находим: Следовательно, по формуле получим

Вычислениеобъема тела вращения. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , имеет объем

.

Пример. Найти объем тела, полученного вращением эллипса вокруг оси Оу.

.