Определение.Множество всех первообразных функцийf(x) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функцииf(x) на Х и обозначается

Функция f(x) называется подынтегральной функцией. Обозначение:

.

Под знаком интеграла пишут для удобства не только саму функцию, но и дифференциал dx для того, чтобы указать по какой переменной ищется первообразная.

Примеры. 1) ; 2) ; 3) .

Из определения следуют свойства неопределенного интеграла:

1. или .

2. или .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если a = const , то

.

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределённых интегралов от этих функций:

.

В силу определения интеграла и равенства из каждой формулы таблицы производных получится соответствующая формула для вычисления неопределённого интеграла.

Таблица интегралов

1. ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11.

12. ; - a < x < a;

Справедливость этих формул проверяется непосредственно дифференцированием правой части. Эти интегралы называются табличными. Интегралы от более сложных функций находятся с помощью свойств интегралов и таблицы интегралов.

Замечание. Производная любой элементарной функции тоже представляет элементарную функцию, т.е. применение операции дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. С операцией интегрирования сложнее. Интегралы от некоторых элементарных функций не выражаются через элементарные функции, т.е. не являются элементарными. Например,

- интеграл Пуассона;

; - интегралы Френеля;

; ; интегральный синус, косинус, логарифм.

Эти интегралы называют специальными функциями. Для них составлены таблицы, графики, компьютерные программы.Эти функции часто встречаются в различных разделах физики, механики,экономики.