Неопределённый интеграл. Определение и свойства

ГЛАВА4.ИНТЕГРАЛЫ

Определение. Пусть выполняются следующие условия:

а) функция f (x) определена на промежутке Х;

б) функция F (x) непрерывна и дифференцируема во всех внутренних точках Х;

в)

Тогда функция F(x) называется первообразной для f (x) на промежутке Х. Например,

является первообразной для на промежутке Х =(-1,1);

является первообразной для на промежутке ;

является первообразной для на промежутке .

Из определения очевидно, что если F (x) первообразная для f (x), то F (x) + C также первообразная. Как отличаются между собой две первообразные?

Теорема. Если (x) и (x) две первообразные для f (x) на промежутке Х, то всюду на этом интервале , где С - произвольная постоянная.

□Положим . Т.к. и дифференцируемы на Х, то Ф (х) дифференцируема на Х следовательно x и ,откуда . ■

Следствие. Если F (x) одна из первообразных для f (x) на Х, то любая другая первообразная Ф (х)для f (x) на Х имеет вид , где С – произвольная постоянная.