Площадь в полярных координатах

Напомним, что определением интеграла служит предел интегральных сумм, взятый при условии измельчения разбиения отрезка интегрирования. Этим определением мы воспользуемся для нахождения площади в следующем случае.

Пусть на плоскости фиксирована система полярных координат: полярными координатами точки служат два числа ( -- полярный радиус, -- полярный угол).

Рис.6.4.

Уравнение, задающее зависимость величины от полярного угла ,

задаёт некоторую линию на плоскости. Будем предполагать, что функция непрерывна при . Рассмотрим область на плоскости, расположенную между выходящими из начала координат лучами и и линией (эта область заштрихована на следующем чертеже).

Рис.6.5.

Найдём площадь области , вначале приблизив область ступенчатой фигурой следующего устройства. Область изменения угла , то есть отрезок , разобьём на части точками деления

и выберем на каждом участке некоторую отмеченную точку . Получаем размеченное разбиение отрезка . Приближённо будем считать площадь сектора области , лежащего между лучами и , равной площади кругового сектора с тем же центральным углом и радиусом, равным (см. рис.):

Рис.6.6.

Площадь кругового сектора подсчитывается по формуле

Значит, площадь всей области приближённо равна интегральной сумме

построенной по выбранному размеченному разбиению отрезка для функции

При неограниченном измельчении разбиения , то есть при условии , эта интегральная сумма будет стремиться к площади области . С другой стороны, предел интегральных сумм для функции даст определённый интеграл от этой функции. Таким образом, получаем формулу площади:

Более кратко эту формулу можно записать так:

(6.3)

где имеется в виду, что вместо полярного радиуса нужно подставить его выражение через полярный угол для зависимости, график которой ограничивает область снаружи.

Пример 6.3 Найдём площадь области, ограниченной частью спирали () при и отрезком оси (см. рис.).

Рис.6.7.

Применяя формулу (6.3), получаем:

Если область имеет границу, состоящую из двух отрезков лучей и (эти отрезки могут вырождаться в одну точку) и двумя линиями, заданными уравнениями в полярных координатах: и , причём при всех (см. рис.), то площадь области можно представить как разность двух площадей: -- площади области, лежащей между лучами , и линией , -- и -- площади области, лежащей между лучами , и линией .

Рис.6.8.

Каждую из площадей и можно подсчитать по формуле (6.3), так что получаем в итоге

(6.4)

3. Длина дуги в прямоугольных координатах. Теорема о гладкой кривой.

4. Длина дуги в полярных координатах.

5. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям. Площадь поверхности вращения.

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х_i разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [x_i-1, x_i] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно M_i и m_i.

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны M_iDx_i и m_iDx_i здесь Dx_i = x_i - x_i-1.

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно и .

При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.

Пример: Найти объем шара радиуса R.

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

.

Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:

Площадь поверхности тела вращения.

М_i B

А

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

Разобьем дугу АВ на n частей точками M₀, M₁, M₂, …, M_n. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x_i и y_i. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна DP_i. Эта площадь может быть найдена по формуле:

Здесь DS_i – длина каждой хорды.

Применяем теорему Лагранжа к отношению .

Получаем:

Тогда

Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

Тогда - формула вычисления площади поверхности тела вращения.

6. Некоторые физические приложения определенного интеграла: элементарная работа силы, количество вещества в вертикальном столбе, сила притяжения однородного стержня, сила давления воды на вертикальный круг.

7. Приближенное вычисление определенных интегралов: вывод формулы прямоугольников, формулы трапеций, формулы парабол – формулы Симпсона.

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

1. Двойной интеграл. Определение и геометрический смысл.

Пусть ограниченная замкнутая область плоскости с кусочно-гладкой границей и пусть функция определена и ограничена на . Посредством сетки кусочно-гладких кривых разобьем на конечное число элементарных областей с площадями (разбиение ). Пусть - наибольший из диаметров областей , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число называется интегральной суммой и ставится в соответствие каждому разбиению и каждому выбору точек . Если существует и он не зависит от выбора разбиения и точек , то функция называется интегрируемой по Риману в области , а сам предел называется двойным интегралом от функции по области и обозначается или . Двойной интеграл существует, если непрерывна на . Допустимы точки разрыва первого рода, лежащие на конечном числе гладких кривых в .

2. Свойства двойного интеграла: линейность, монотонность, теорема о среднем значении, аддитивность.

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла:

Линейность:
. Аддитивность:
, если S1 и S2 две области без общих внутренних точек.

Если для каждой точки выполнено неравенство , то .

Если интегрируема на , то функция также интегрируема, причем .

Если и наименьшее и наибольшее значения функции в области, а ее площадь, то .

Теорема о среднем значении: если непрерывна в связной области , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что .