Геометрический смысл определенного интеграла

Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если f (x) >0 на отрезке [ a, b ], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [ a, b ], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f (x).

4. Физический смысл определенного интеграла.

5. Основные свойства определенного интеграла: общие свойства, свойство аддитивности, свойства линейности, свойства монотонности.

1. Линейность. Если функции y = f (x), y = g (x) интегрируемы по отрезку [ a, b ], то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация Af (x) + Bg (x) (A, B = const), и
.
Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек выполняется . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.
2. Аддитивность. Если y = f (x) интегрируема по отрезку [ a, b ] и точка c принадлежит этому отрезку, то .
Док-во. Если f (x) удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку [ a, b ], то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам [ a, c ] и [ c, b ]. Будем брать такие разбиения отрезка [ a, b ], чтобы точка c являлась одним из узлов x_i: c = x_{i 0},. Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для . Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .
Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, c < b < a, и f (x) интегрируема по [ c, a ]. Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .
При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что b > a.