Развернутая форма числа

Развернутая форма записи числа – это запись в виде разрядных слагаемых, записанных с помощью степени соответствующего разряда и основания степени=10.

Рассмотрим примеры:

32478 ₁₀ = 3·10000 + 2·1000 + 4·100 + 7·10 + 8 =

= 3·10⁴ + 2·10³ + 4·10² + 7·10¹ + 8·10⁰

112 ₃ = 1·10² + 1·10¹ + 2·10⁰

101101 ₂ = 1·10⁵ + 0·10⁴ + 1·10³ + 1·10² + 0·10¹ + 1·10⁰

15FC ₁₆ = 1·10³ + 5·10² + F·10² + C·10⁰

Перевод из десятичной системы счисления в другие.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в системы счисления с другим основанием выполняется методом последовательного деления данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления, полученные остатки и являются цифрами числа в новой системе счисления. Рассмотрим примеры:

10010=4005	10010=11001002	3710=1001012

Перевод в десятичную систему счисления.

Перевод целых чисел из системы счисления с основанием q (недесятичной системы) в десятичную систему счисления выполняется по правилу: если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. Рассмотрим примеры:

112₃ = 1 · 3² + 1 · 3¹ + 2 · 3⁰ = 9 + 3 + 2 = 14₁₀

101101₂ = 1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 32 + 0 + 8 + 4 + 1 = 45₁₀

15FС₁₆ = 1 · 16³ + 5 · 16² + 15(F) · 16¹ + 12(С) · 16⁰ = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628₁₀

Двоичная арифметика.

Правила выполнения арифметических операций с двоичными числами отличаются большой простотой.

Сложение двоичных чисел проводится в соответствии со следующими правилами:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 и 1 переносится в следующий, старший разряд.

Вычитание выполняется по следующим правилам:

0 – 0 = 0
10 – 1 = 1 (единица занимается из соседнего, старшего разряда)
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
Таблица умножения имеет очень простой вид:

0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1

Деление чисел в двоичной системе похоже на выполнение этой операции в десятичной системе. Оно сводится к последовательному вычитанию делителя из делимого.

Вы видите, что арифметические действия с двоичными числами выполняются очень легко, поэтому работа компьютера и основана на двоичном кодировании.