Числа с плавающей точкой (запятой)

Неудобство представления чисел в форме с фиксированной точкой проявляется при решении задач, в которых фигурируют как очень малые так и очень большие числа. В конкретных физических, математических и других задачах диапазон изменения величин может составлять, например от 10^-30 до 10³⁰. Можно убедиться, что в представлении с фиксированной запятой понадобились бы двоичные слова длинной около 256 бит (32 байт), по 128 бит на целую и дробную части. Однако работа ЭВМ с операндами такой длины была бы крайне неэффективной.

Точность числа определяется не его длиной, а количеством верных значащих цифр.

Например, мы хотим измерить длину отрезка линейкой с сантиметровыми делениями. Отрезок не совпадает с делениями точно - его длина между 47 и 47,5 см. На глазок прикидываем, что это 47,2 см (472 мм). Ясно, что в каких единицах ни записать длину отрезка: 47 2000микрон 47 2мм. 0,000 47 2км - точных цифр только две: 47 при точности измерения до 1 см (ведь линейка-то сантиметровая).

Точность результата вычисления выражений, содержащих несколько чисел, определяется, как правило, точностью числа имеющего наименьшее количество верных значащих цифр. Поэтому в практических расчетах редко используют более трех значащих цифр, соответствующим образом округляя промежуточные результаты. Ясно, что для хранения в памяти ЭВМ чисел с небольшим числом значащих цифр целесообразно представлять их в экспоненциальной форме. В приведенном примере это представление может иметь вид:

4,72 х 10⁵; 472 x 10³; 4720 x 10²микрон

или

4,72 х 10^-4; 47,2 x 10^-5;472 x 10^-6км.

Из этого примера также видно, что положение запятой может изменяться. Поэтому в информатике представление в ЭВМ числа в экспотенциальной форме называются представлением с плавающей точкой (запятой).

Представление чисел в форме с плавающей точкой очень удобно для решения научных и инженерных задач. Нормализованное представление чисел не только позволяет сохранить в разрядной сетке большое количество значащих цифр, но также упрощает действие над порядками и мантиссами.

Для представления чисел с плавающей точкой (ЧПТ) используется полулогарифмическая форма записи числа:

N = ± mq ^{± p}

где q - основание системы счисления, p - порядок числа, m - мантисса числа N.

Положение точки определяется значением порядка p. С изменением порядка точка перемещается (плавает) влево или вправо.
Пример.

125₁₀=12.5*10¹=1.25*10²=0.125*10³=0.0125*10⁴=...

Для установления однозначности при записи чисел принята нормализованная форма записи числа. Мантисса нормализованного числа может изменяться в диапазоне: 1/q ≤ | m | < 1. Таким образом в нормализованных числах цифра после точки должна быть значащей.

Пример.

Для представления чисел в машинном слове выделяют группы разрядов для изображения мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:
а) представление чисел в формате полуслова

б) представление чисел в формате слова

Наиболее типично представление ЧПТ в формате слова (32 разряда). Таким образом числа с плавающей точкой позволяют увеличить диапазон обрабатываемых чисел, но при этом точность изображения чисел определяется только разрядами мантиссы и уменьшается по сравнению с числами с фиксированной точкой. При записи числа в формате слова диапазон представимых чисел будет от -1·2¹²⁷ до 1·2¹²⁷ (2¹²⁷10³⁸), а точность определяться мантиссой, состоящей из 23 разрядов. Точность может быть повышена путем увеличения количества разрядов мантиссы. Это реализуется путем представления чисел с так называемой двойной точностью (используется формат двойного слова):