Интегральная теорема Лапласа

Вновь предположим, что производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Как вычислить вероятность P_n (k ₁, k ₂) того, что событие А появится в п испытаниях не менее k ₁ и не более k ₂ раз (для краткости будем говорить «от k ₁ до k ₂ раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_п (k ₁, k ₂) того, что событие А появится в п испытаниях от k ₁ до k ₂ раз, приближенно равна определенному интегралу

P_n (k ₁ ,k ₂) (*)

где x' = (k ₁ —np) / и x” = (k ₂ —np) / .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Таблица для

интеграла Ф (х) = приведена в конце книги (см. приложение 2). В таблице даны значения функции Ф (х) для положительных значений х и для х = 0; для х < 0 пользуются той же таблицей [функция Ф (х) нечетна,т.е.

Ф (—х) = — Ф (х)]. В таблице приведены значения интеграла лишь до х= 5так как для х > 5 можно принять Ф (x) = 0,5. Функцию Ф (х) часто называют функцией Лапласа.

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (*) так:

P_n (k ₁ ,k ₂) + = - =

= Ф (x”)- Ф (x’).

Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от k ₁ до k ₂ раз,

P_n (k ₁ ,k ₂) Ф (x”)- Ф (x’)

где х' = (k ₁ — пр) / и x" = (k ₂— np) / .

13 Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.