Формулы Бейеса

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B ₁ ,В ₂ ,..., В_п, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности (см. § 2):

Р (А) = Р (В ₁) (А) + Р (В ₂) (А) +...+ Р (В_n) (А). (*)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Р_А (В ₁), Р_А (В ₂) ,..., Р_А (В_п).

Найдем сначала условную вероятность Pa (B ₁).По теореме умножения имеем

Р (АВ ₁) = Р (А) Р_А (В ₁) = Р (B ₁) (A).

Отсюда

Р_А (В ₁) = .

Заменив здесь Р (А) по формуле (*), получим

Р_А (В ₁) = .

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы B_i (i= 1, 2 ,..., п) может быть вычислена по формуле

Р_А (В_i) = .

Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

11 Вывод формулы Бернулли. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в п испытаниях событие А наступит k раз и не наступит п — k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p^kq^n-k. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из п элементов по k элементов, т. е. . Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события А в п испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

P_n (k) =

или

P_n (k) = .

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р =0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q= 1 -p= 1 — 0, 75 = 0, 25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

P ₆ (4) = p ⁴ q ^{2 =} p ⁴ q ² = (0, 75)⁴ * (0, 25)² = 0, 30.

12 Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_n (k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции

y=

при x= (k-np) / .

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции

(х) = , соответствующие положительным значениям аргумента х (см. приложение 1). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция (х) четна, т. е. (-х) = (х).

Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

P_n (k)

где x = (k — np) / .