Теорема сложения вероятностей совместных событий. Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двухсовместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ).

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: A , B или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий,

P (A+B) =P (A ) +P ( B) +P (AB). (*)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: B или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

Р (A) = Р (A ) + Р (АВ).

Отсюда

Р ( B) =Р (А) —Р (АВ). (**)

Аналогично имеем

P (B) =P ( B) +P (AB).

Отсюда

Р ( B) =Р (В) —Р (АВ). (***)

Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим

P (A+B) =P (A) +P (B) -P (AB). (****)