Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим функцию , где -- открытое множество.
Определение 1. называется точкой максимума (минимума) функции , если
Аналогично если выполняется строгое неравенство, точка называется точкой строгого максимума (строгого минимума).
Теорема 1. (необходимое условие экстремума) Если -- точка экстремума и существует , то .
Доказательство. Частную производную можно представить как производную функции одной переменной в точке . Для этой функции точка также является точкой экстремума. Тогда, по необходимому условию экстремума функции одной переменной .
Определение 2. -- стационарная точка функции , если -- дифференцируема в этой точке и , или -- не дифференцируема в этой точке.
Замечание 1. Квадратичная форма -- многочлен вида , -- положительно определена, если на положительных переменных она принимает положительные значения. Для квадратичных форм существует критерий Сильвестра: форма положительно определена, если все главные миноры ее матрицы положительны. Форма отрицательно определена, если положительно определена. Тогда главные миноры меняют знак, начиная с минуса.
Теорема 2. (достаточное условие экстремума) Если дважды дифференцируема в стационарной точке , то -- точка минимума (максимума), если квадратичная форма положительно (отрицательно) определена. Если эта форма не определена, то экстремума в этой точке нет. Если она вырождена, то неизвестно, является ли точкой экстремума.
Доказательство. По формуле Тейлора приращение функции в точке можно записать в виде , поскольку, по необходимому условию экстремума, частные производные будут равны нулю. Перепишем выражение в виде , причем при . Заметим, что новые переменные изменяются на единичной сфере, т.к. . Кроме того, квадратичная форма непрерывна и по теореме Вейерштрасса на сфере принимает наименьшее значение, обозначим его . Пусть форма положительно определена. Тогда . Теперь благодаря тому, что при можно подобрать такое , что при выполнено , тогда выполнено в этой окрестности. Что и означает, что -- точка минимума. Для точки максимума доказательство аналогично.
Замечание 2. В случае двух переменных матрица квадратичной формы имеет вид . Тогда если , то для положительной определенности достаточно -- тогда имеется минимум. Если же , то достигается максимум. Если же , то ничего сказать нельзя.
Дата публикования: 2015-01-25; Прочитано: 346 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!