Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема

Если функция y = f (x) дифференцируема в некоторой точке x = x 0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x 0 функция y = f (x) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = | x | непрерывна для всех x (–¥< х < ¥), но в точке x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема о корнях производной (теорема Ролля). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x = a и x = b обращается в нуль (f (a) = f (b) = 0), то внутри отрезка [ a, b ] существует, по крайней мере одна, точка x = с, a < c < b, в которой производная f ¢(x) обращается в нуль, т.е. f ¢(c) = 0.

Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [ a, b ] найдется по крайней мере одна точка с, a < c < b, что

f (b) – f (a) = f ¢(c)(b – a).

Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши). Если f (x) и g (x) – две функции, непрерывные на отрезке [ a, b ] и дифференцируемые во всех внутренних точках этого отрезка, причем g ¢(x) нигде внутри этого отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [ a, b ] найдется такая точка x = с, a < c < b, что

.