Обобщенные функции и действия над ними 5 страница

Лемма о плотности. Для произвольной основной функции существует последовательность основных функций специального вида (15.1), таких что в .

Доказательство. Пусть носитель основной функции содержится в шаре . Для доказательства сформулируем известную теорему в адаптированном к изучаемому случаю виде.

Теорема Вейерштрасса. Для любого существует многочлен , где , , такой что для любого мультииндекса и всех справедливо неравенство

. (15.2)

Введем вспомогательные функции и

Знак означает, что при функция принимает значения от 0 до 1. – называются срезающими функциями.

Рассмотрим функции

.

Очевидно, что они являются последовательностью основных функций специального вида (15.1). Действительно, имеют вид (15.1), их носители содержатся в шаре и, в силу (15.2), при любых любых и , где – некоторые числа, не зависящие от . Это значит, что в .

Лемма доказана.

Таким образом мы доказали, что множество функций вида (15.1) плотно в пространстве . Пусть – произвольная основная функция из . В силу доказанной леммы, существует последовательность основных функций вида (15.1), сходящаяся к в . Отсюда, пользуясь непрерывностью на функционалов и и доказанным равенством

,

на функциях вида (15.1), получим последнее равенство и в общем случае. Для любой основной функции из существует последовательность основных функций , таких что . Имеем .

Коммутативность прямого произведения доказана.

§ 16. Свойства прямого произведения

1. Коммутативность (доказана выше).

2. Линейность и непрерывность по каждому сомножителю

Линейность очевидна:

.

Докажем непрерывность прямого произведения; например, по второму сомножителю, а именно докажем, что если в , то в .

Доказательство. По определению и из свойства коммутативности прямого произведения имеем

,

когда . В силу технической леммы получим и так как , то – линейный и непрерывный функционал над пространством . Следовательно,

.

Значит,

что и требовалось доказать.

3. Ассоциативность

Покажем, что справедливо равенство

.

Действительно, в силу определения прямого произведения получим, что

Сравнивая начало и конец этой цепочки равенств мы получим

,

что и требовалось доказать.

4. Дифференцируемость

Покажем, что .

Доказательство. По определению обобщенной производной и определению прямого произведения получим,

То есть мы показали, что , что и требовалось доказать.

5. Умножение на бесконечно дифференцируемую функцию

Пусть функция . Докажем, что .

Доказательство. По определению умножения на дифференцируемую функцию получим

Сравнивая начало и конец этой цепочки равенств, получим утверждение.

6. Сдвиг прямого произведения

.

Левая часть равенства означает, что в функционале делается линейная замена переменных.

Доказательство. По правилу замены переменных в обобщенных функциях получим, что

что и требовалось доказать.

7. Умножение на 1(y).

Рассмотрим обобщенную функцию действующую на любую следующим образом . Пусть , рассмотрим функционал . По свойству коммутативности имеем, что для любой функции справедливо равенство . По определению прямого произведения имеем то есть мы доказали следующее свойство: если и , то знак функционала и знак интеграла по можно менять местами.

§ 17. Свертка обобщенных функций

Примеры существования свертки

Определение 1. Пусть заданы функции

– пространство абсолютно интегрируемых в функций. Сверткой функций и называется функция обозначение свертки .

1. Покажем, что определенная выше функция .

то есть получаем .

2. Рассмотрим случай, когда – локально интегрируемая функция, – локально интегрируемая функция и . Покажем, что свертка существует почти всюду в и является локально интегрируемой функцией. Имеем . Так как то

поэтому

Так как , то , поэтому последнюю оценку можно продолжить следующим образом

По условию функции и – локально интегрируемы. Таким образом, мы доказали, что конечен интеграл

. Отсюда по теореме Фубини получим, что при почти всех существует интеграл , то есть при почти всех существует свертка .

Сформулируем без доказательства упомянутое утверждение из математического анализа.

Теорема Фубини. Рассмотрим интегралы

Тогда:

1) если хотя бы один из трех интегралов существует, то существуют и остальные, причем ;

2) если хотя бы один из этих интегралов существует, то при п.в. существует и при п.в. существует .

Пусть . Возьмем любую функцию . Ранее было показано, что если то существует их свертка , причем .

Запишем это равенство в виде равенства функционалов

Мы получили, что если и , то для любой основной функции :

(17.1)

Выясним, можно ли определять свертку произвольных функций по формуле (17.1).

Пусть . Выясним, принадлежит ли функция пространству основных функций . Очевидно, что функция – бесконечно дифференцируема. Проверим, будет ли она финитна в . Возьмем произвольную точку . Тогда при таких, что функция . Рассмотрим множество . Очевидно, что это множество есть неограниченное множество в . Значит, носитель функции также является неограниченным множеством в . Значит, . Поэтому не существует . Следовательно, по формуле (17.1) нельзя определить свертку для произвольных обобщенных функций.

Определим свертку для произвольных обобщенных функций. Введем в рассмотрение так называемые срезающие функции.

Определим функцию

– срезающая функция.

Рассмотрим функцию

Построим также функции и

Такие функции будем называть срезающими функциями и будем говорить, что в при , в при . Рассмотрим функцию

. Очевидно, . Будем говорить, что функция в . Она тоже будет срезающей.

Определим теперь свертку двух обобщенных функций. Возьмем некоторую последовательность и рассмотрим функционал Выше было показано, что . Однако, если функции такие, как определено выше: , то функции принадлежат пространству основныхфункций .

Определение. Пусть . Будем говорить, что их свертка существует и принадлежит , если для любой основной функции существует предел

, (17.2)

причем этот предел не зависит от выбора последовательности .

Пример. Возьмем произвольную функцию и покажем, что существует свертка .

По определению свертки обобщенных функций для любой основной функции имеем:

По построению , если . Выберем столь большим, чтобы для всех носитель содержался в множестве . Тогда чтобы для всех имеем . Поэтому при достаточно больших для всех получаем: . Следовательно, существует . Таким образом, мы показали, что существует свертка , что и требовалось доказать.

§ 18. Свойства свертки

Предположим, что свертка существует, тогда справедливы следующие свойства

1. Линейность. Пусть существуют вертки обобщенной функции с обобщенными функциями : и , тогда для любых чисел существует свертка .

Доказательство. Воспользуемся определением свертки и свойствами прямого произведения обобщенных функций, получим:

что и требовалось доказать.

2. Коммутативность. Если существует свертка обобщенных функций , то существует и свертка и справедливо равенство .

Свойство вытекает из коммутативности прямого произведения.

(Доказать самостоятельно).

3. Дифференцируемость. Пусть существует свертка , тогда существуют свертки любых производных функций и , причем справедливо равенство .

Доказательство проведем в случае, когда и . Покажем, что . По правилу вычисления обобщенной производной для любой обобщенной функции имеем

Заметим, что если , то и так как по определению свертки обобщенных функций, предел не зависит от выбора последовательности, которая стремится к 1, то