Обобщенные функции и действия над ними 1 страница

Глава 2

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Обобщенные функции впервые были введены в науку П. Дираком в его квантовомеханических исследованиях, в которых систематически использовалась знаменитая – функция. Основы математической теории обобщенных функций были заложены С.Л. Соболевым и Л.Шварцем. В дальнейшем теория обобщенных функций интенсивно развивалась многими математиками. Развитие теории обобщенных функций и обобщенных решений дифференциальных уравнений стимулировалась в основном потребностями математической физики и квантовой физики.

Введение. Обобщенная функция является обобщением классического понятия функции. Это обобщение, с одной стороны, дает возможность, выразить в математической форме такие понятия, как, например, плотность материальной точки, плотность точечного заряда или диполя, плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного точечного источника, интенсивность силы, приложенной в точке и т.д. С другой стороны, в понятии обобщенной функции находит отражение тот факт, что реально нельзя, например, измерить плотность вещества в точке, а можно измерить лишь его среднюю плотность в достаточно малой окрестности этой точки и объявить это плотностью в данной точке; грубо говоря, обобщенная функция определяется своими «средними значениями» в окрестности каждой точки.

Чтобы пояснить сказанное, попытаемся определить плотность, создаваемую материальной точкой массы 1. Считаем, что эта точка совпадает с началом координат. Чтобы определить эту плотность, распределим (или, как говорят, размажем) массу 1 равномерно внутри шара . В результате получим среднюю плотность Примем в начале в качестве искомой плотности (мы ее обозначим через ) поточечный предел последовательности средних плотностей при , т.е.

(*)

От плотности естественно требовать, чтобы ее интеграл по любому объему давал бы массу вещества, заключенного в этом объеме, то есть Но в силу (*), левая часть этого равенства всегда равна нулю. Полученное противоречие показывает, что поточечный предел последовательности , не может быть принят в качестве плотности .

Вычислим теперь слабый предел последовательности функций , то есть для любой непрерывной функции найдем предел числовой последовательности при .

Покажем, что Действительно, в силу непрерывности функции для любого существует такое , что , если . Отсюда при всех получаем

что и утверждалось.

Таким образом, слабым пределом последовательности функций, является функционал, сопоставляющий каждой непрерывной функции число – значение ее в точке. Вот этот функционал и принимается за определение плотности, это и есть известная – функция Дирака. Итак,, в том смысле, что для любой непрерывной функции справедливо предельное соотношение, где символ обозначает число – значение функционала на функции.

§ 4. Пространство основных функций

Уже на примере – функции видно, что она определяется посредством непрерывных функций, как линейный непрерывный функционал на этих функциях. Непрерывные функции, как говорят, являются основными функциями для – функции. Эта точка зрения и берется за основу определения произвольной обобщенной функции, как линейного непрерывного функционала на пространстве «достаточно хороших» (основных) функций. Ясно, что чем уже пространство основных функций, тем больше на нем существует линейных непрерывных функционалов. С другой стороны, запас основных функций должен быть достаточно велик. В этом разделе введем важное пространство основных функций .

Определение. Отнесем к множеству основных функций все финитные бесконечно дифференцируемые в функции.

Сходимость в определим следующим образом. Последовательность функций из сходится к функции (из ) если: а) существует такое число , что ;

б) при каждом : , то есть по любому можно выбрать такое , что для любого , любого : . В этом случае будем писать: в .

Пример функции, принадлежащей .

Рассмотрим функцию

Постоянная выбирается так, чтобы . Покажем, что эта функция принадлежит пространству , при этом для простоты будем предполагать, что . Покажем вначале, что функция непрерывна на . Заметим, что в любой точке , то есть является непрерывной, если , то – также непрерывна как суперпозиция непрерывных функций.

Таким образом, остается показать непрерывность функции в точках . Докажем непрерывность в т. (в т. - аналогично).

Покажем, что . Имеем

; , т.е. функция непрерывна на . Покажем, что эта функция дифференцируема на . Если , то функция – дифференцируема, причем

Если , то функция , то есть также дифференцируемая функция, причем .

Таким образом, осталось показать дифференцируемость функции в точках . Докажем дифференцируемость в . Для этого нужно доказать, что существует производная слева и справа этой точки и они равны.

То есть, производные слева и справа совпадают. Следовательно, существует производная .

Также, как и выше, можно показать, что эта производная непрерывна. Используя аналогичные рассуждения, можно показать, что . Очевидно, что все производные функции – финитны, причем с центром в начале координат; то есть – бесконечно дифференцируемая и финитная функция, то есть .

Непрерывные операции в

Определение. Рассмотрим некоторую линейную операцию . Будем говорить, что эта операция непрерывна в , если из условия

следует .

Рассмотрим непрерывные операции в

1) Умножение на функцию из есть непрерывная операция в .

Рассмотрим некоторую функцию и произвольную функцию . Покажем, что функция . Функция является бесконечно дифференцируемой функцией, как произведение бесконечно дифференцируемых функций, кроме того, носитель . Поэтому функция также является финитной. Значит, . То есть, операция умножения на бесконечно дифференцируемую функцию не выводит из пространства .

Докажем непрерывность этой операции, то есть докажем, что если , то .

Доказательство. По условию имеем:

1) Для любого ;

2) Для любого .

Надо доказать, что

1) Для любого ;

2) Для любого .

Первое утверждение очевидно, т.к. если для любого вне шара , то вне шара для любого .

Докажем второе утверждение. Для этого воспользуемся формулой Лейбница: . Отсюда получим, что

где .

Так как функция бесконечно дифференцируема, то числа – конечные. Отсюда получим, что

,

то есть мы показали, что , что и требовалось доказать.

2) Линейная (неособая) замена переменных есть операция, непрерывная в .

Рассмотрим функцию . Введем новую переменную следующим образом: , где – некоторая матрица , – -мерный вектор. Будем предполагать, что замена переменных – неособая, то есть .

Рассмотрим функцию . Покажем вначале, что . Заметим, что , т.к. есть суперпозиция двух бесконечно дифференцируемых функций и . Покажем, что функция финитна. Для этого достаточно показать, что если , то . Действительно, . Т.е. функция финитна, а значит, , то есть линейная неособая замена переменных не выводит из . Покажем теперь, что линейная неособая замена переменных есть непрерывная операция в . То есть покажем, что из условия следует .

Доказательство. По условию выполнено

1) Для любого : ;

2) Для любого : .

Требуется доказать, что выполняется следующее:

1) «не растекаются», т.е. включены в некоторый

2) Для любого : .

Выше было показано, что для любого : , то есть носители «не растекаются». Остается показать, что . Для простоты докажем это в пространстве . По правилам дифференцирования сложной функции имеем

, где .

То есть, . Так как , то . Аналогично доказывается, что все остальные производные функции при .

Таким образом, мы показали, что неособая линейная замена переменных есть непрерывная функция в .

3) Операция дифференцирования есть операция, непрерывная в .

Покажем вначале, что эта операция не выводит из пространства , то есть если , то для любого : .

Так как , то . Осталось показать, что функция финитна. Для этого покажем, что .

Обозначим – нулевое множество функции . Возьмем некоторую точку . Т.к. множество открыто, то существует , такое что . Очевидно, что в любой точке , следовательно, . Это значит, что следовательно, . Таким образом, функция бесконечно дифференцируемая и финитная, то есть .

Покажем, что операция дифференцирования непрерывна в . Рассмотрим последовательность . Нужно показать, что из этого следует, что . Так как , то

1) Для любого («носители не растекаются»);

2) Для любого мультииндекса в .

Заметим, что , то есть «носители не растекаются», кроме того, так как для любого : , то . Таким образом, . Значит, операция дифференцирования непрерывна в .

Замечание. Операция дифференцирования не во всех пространствах является непрерывной операцией. Например, в пространстве она не является непрерывной операцией, действительно, возьмем последовательность непрерывных функций . Очевидна оценка , то есть . Очевидно, что не стремится равномерно к 0. То есть операция дифференцирования не является непрерывной в .

§ 5. Пространство обобщенных функций

Определение. Функционал – оператор, действующий из пространства функций (здесь – ) в множество комплексных чисел .

Определение. Множество линейных непрерывных функционалов над пространством называется пространством обобщенных функций .

Будем употреблять обозначение для результата действия функционала . Так как функционал линейный, то