Представление чисел с плавающей точкой

Представление чисел с плавающей точкой в общем случае имеет вид

X = <знак>M*p^t,

где М – мантисса числа Х, t – порядок, p – основание (обычно целая степень числа 2). Мантисса и порядок представляются в системе счисления с основанием p. Знак числа совпадает со знаком мантиссы.
Порядок t может быть положительным или отрицательным целым числом, определяет положение точки в числе Х.
Для представления порядка применяют смещенный код. Для перехода к смещенному коду от дополнительного кода необходимо инвертировать знаковый разряд кода.
ФОРМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ В ЭВМ. ПРЯМОЙ, ОБРАТНЫЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КОДЫ

Информация хранится в памяти машины и обрабатывается процессором в двоичном виде. Формат записи данных в памяти называется внутренним представлением информации в ЭВМ. Применение двоичной системы счисления позволяет использовать для хранения информации элементы, имеющие всего два устойчивых состояния. Одно состояние служит для изображения единицы в соответствующем разряде числа, а другое – для изображения нуля. По такому же принципу изображают знак числа: 0- для знака "+", 1-для знака "-".

С целью упрощения реализации арифметических операций в компьютере для представления двоичного числа используются прямой, обратный и дополнительный коды.

Прямой код используется для представления целого двоичного числа в виде: X_пр= *a_n-1*a_n-2*…*a₁*a_0, где  - знаковый разряд; a_i- двоичные разряды числа.

Обратный код используется для представления отрицательных чисел путём постановки в знаковый разряд единицы и замены во всех других разрядах числа единиц нулями, а нулей единицами. Например, число X=-11011001 в обратном коде будет иметь вид X_обр=100100110.

Дополнительный код числа получают из обратного путём привлечения единицы к младшему разряду. Например, для числа X=-10100101: X_обр=101011010; X_доп=101011011.

Обратный и дополнительный коды положительного числа совпадают с представлением самого числа.

При сложении и вычитании чисел они обычно представляются в зависимости от типа арифметико-логического устройства в обратном или дополнительном коде. Существует два основных способа представления чисел, называемых представлениями с фиксированной и плавающей точкой.

Числа, в которых положение точки не зафиксировано после некоторого разряда, а указывается специальным числом, называется числами с плавающей точкой.

В общем виде любое число А может быть представлено в виде A=m*N^p, где m- мантисса числа, N- основание системы счисления; P- порядок числа, указывающий положение точки в изображении числа.

Всякое число, меньшее по абсолютной величине положительного минимального числа, представленного в соответствующем формате,будет в памяти записано в виде нуля. Для данного формата это так называемый "машинный нуль". Кроме того, числа, получающиеся в результате вычислений, не должны превышать по абсолютной величине максимального числа, представленного в соответствующем формате. старшие биты числа будут потеряны, а результат вычислений искажён. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки, а сами числа – "машинной бесконечностью".

В зависимости от типа данных числа с плавающей точкой в памяти хранятся в одном из следующих форматов:

Мантисса чисел записывается в нормализованном виде, т.е. в двоичном представлении числа, перед точкой сохраняется один значащий двоичный бит. При нарушении нормализации мантиссу числа сдвигают (для чисел меньших 1) влево до тех пор, пока перед точкой не появится двоичная единица. Для чисел больших 1 сдвиг выполняют вправо. При каждом сдвиге порядок числа корректируется на 1, при сдвиге на один бит влево уменьшая его, при сдвиге вправо увеличивая.

Представим число -18.2 с плавающей точкой: двоичное представление числа: -10010.001100110011.

Нормализованное представление числа: -1.0010001100110011…2^100. Переходим от порядка к характеристике: 4+127=131=10000011₂.

В 16 с/с это число записывается так: С191999.