 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
О проблеме введения понятия предела в школьный курс. Методика изучения производной функции в школьном курсе математики. Механический и геометрический смыслы производной
|
|
Говорят, что задана числовая посл-ть, если любому нат. числу (номер места) по закону однозначно поставлено в соответствие определенное число. В общем виде это соответствие м/изобразить так: а1..аn. Число аn наз-ся n-ным членом посл-ти, саму посл-ть обоз-ют (аn). Посл-ть м/б конечной и ∞-ной. Способы задания посл-тей: ф-лой n-го члена yn=2n+3; рекурентным способом (н/указать n-ый член посл-ти ч/з предыдущий).
Предел посл-ти. Трудности при изучении: 1) Содержание темы. Понятие предела связано со сложным понятием ∞-ти. Само определение предела трудно для восприятия: в опр-нии используется нер-во с модулем, кот-е д/вып-ся для всех n>некоторого числа N и для любого E>0. 2) Изолированность этой темы от остальных тем курса и отсутствие пропедевтики. 3) Разные отрицательные факторы внешнего порядка: недостаточная методическая разработанность темы, ограниченность времени.
В учебниках давалось определение: число х наз пределом (xn) если для любого е> 0 и достат большого номера N вып нер-во ½xn-x½<е. 86-90 гг. Рассматривают предел ф-ии, связанный с приближенными вычислениями и абсолютной погрешностью. Опр. Ф-я f(x)®lim a при x®a если можно обеспечить любую наперед заданную точность приближ рав-ва f(x)»a за счет уменьшения погрешности½Dx½=½x-a½ значения аргумента. Далее рассм свойства пределов.
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x) в двух точках x 0 и x 0 + 
: f (x 0) и f (x 0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0 + ) f (x 0) называется приращением функции. Производной функции y = f (x) в точке x 0называется предел:
Если этот предел существует, то функция f (x) называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции f (x) обозначается так:
Методическая схема изучения производной
I. Привести подводящую задачу, раскрывающую физический смысл понятия производной: свободное падение тела, которое не является равномерным. Охарактеризуем скорость падения в каждый данный момент времени t, т.е. введём понятие мгновенной скорости свободного падения тела. Известно, что средняя скорость определяется отношением 
, причём чем меньше значение 
, тем менее "заметно" изменение средней скорости падения. При 
, отношение 
стремится к значению мгновенной скорости. Таким образом мгновенная скорость характеризует скорость изменения пути 
в момент времени t.
В общем случае, с любым реальным процессом может быть связана задача:
Пусть 
-параметр данного процесса, зависимости от x; найти скорость изменения параметра в момент, когда 
. Решение задачи сводится к нахождению отношения приращения параметра 
, соответствующую приращению 
.
II. Сформулировать определение понятия производной.
Так как в определении отсутствует понятие предела, то первоначально следует сформировать у учащихся понятие приращения как изменения и аргумента и функции.
Например:
После рассмотрения геометрического смысла производной вводим определение:
Производной функции в точке 
называется число, к которому стремится разностное отношение:
Полезен небольшой анализ формулировки определения, позволяющий чётче выделить признаки данного понятия: 1) число, 2) к которому стремится разностное отношение 
3) при 
Закреплению определения производной способствует вопрос: "Как найти производную функции в точке ?", ответ на который может быть дан в форме алгоритма: 1) значению придаём приращение 
; 2) находим приращение функции в точке 
; 3) составляем разностное соотношение; 4) находим число 
(если такое число существует), к которому стремится при
III. Конкретизировать понятие производной (путём вычисления производной по определению: выяснение её геометрического смысла, графическое отыскание производной)
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где 
- угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t) времени t. В течение интервала времени от t 0 до t 0 + 
точка перемещается на расстояние: x (t 0 + ) x (t 0) = , а её средняя скорость равна: va = . При 
0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v (t 0) материальной точки в момент времени t 0. Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v (t 0) = x’ (t 0), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ (t).
25. Применение производной к исследованию функций. Уточнение понятия касательной к графику ф-ции. Уравнение касательной к графику функции.
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0, f (x 0)). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0) имеет вид:
y = f ’(x 0) · x + b.
Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f (x 0) = f ’(x 0) · x 0 + b,
отсюда, b = f (x 0) – f ’(x 0) · x 0, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:
y = f (x 0) + f ’(x 0) · (x – x 0).
Применение производной к исследованию функций:
1.Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
функции.Если функция f (x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.
С л е д с т в и е. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.
| П р и м е р. | Функция y = | x | (рис.3) всюду непрерывна, но она не имеет производной при x = 0, так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции. (Подумайте, почему?) |
2.Достаточные признаки монотонности функции.
Если f ’(x) > 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастает на этом интервале.
Если f ’(x) < 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) убывает на этом интервале.
Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.
3.Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует,называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум (минимум или максимум, рис.5 а, б).
В точках x 1 , x 2 (рис.5 a) и x 3 (рис.5 b) производная равна 0; в точках x 1 , x 2(рис.5 б) производная не существует. Но все они точки экстремума.
Необходимое условие экстремума. Если x 0 - точка экстремума функции f (x) и производная f’ существует в этой точке, то f’ (x 0) = 0.
Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции f (x) = x 3 равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке (рис.6).
С другой стороны, функция y = | x |, представленная на рис.3, имеет минимум в точке x = 0, но в этой точке производной не существует.
Достаточные условия экстремума.
Если производная при переходе через точку x 0 меняет свой знак с плюса на минус, то x 0 - точка максимума.
Если производная при переходе через точку x 0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x 0 - точка минимума.
26. Разные трактовки понятия уравнения и соответствующие им определения. Уравнения и неравенства в средней школе. Равносильность уравнений и неравенств. Понятие следования в курсе школьной математики.
Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом алгебры.
Логико-математическое определение уравнения можно привести в такой форме: пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х — переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно х называется предикат вида а(х)=b
(х), где а(х) и b
(х)— термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ х. Аналогично определяется уравнение от двух переменных и т. д.
Принятым в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины школьной математики «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому наиболее близко к приведенному формальному определению следующее определение: «Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением»
Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие уравнения вводится посредством выделения его из алгебраического метода решения задач. В этом случае независимо от того, каков текст определения, существенным оказывается подход к понятию уравнения, при котором оно представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с сюжетом задачи конкретную интерпретацию. Например, понятие уравнения вводится на материале текстовой задачи: «Конверт с новогодней открыткой стоит 17 к. Конверт дешевле открытки на 5 к. Найти стоимость открытки». Переход к определению уравнения осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи.х+(х-—5)= 17, выражающей содержание данной задачи в алгебраической форме. С помощью этого же сюжета вводится и понятие корня уравнения. Вот эти определения: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство».
Помимо выделенных компонентов понятия уравнения, в школьной математике большую роль играет компонент, при котором уравнение трактуется как равенство двух функций. Его роль проявляется в изучении графического метода решения уравнений. Однако в известных нам учебниках алгебры этот компонент не кладется в основу определения уравнения.
Формирование понятия уравнения требует использования еще одного термина: «решить уравнение». Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». В определении понятия уравнения используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что переменная пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально, а неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по текстовым задачам). Вопросы, связанные с выбором одного их этих терминов для использования в школьной практике, в настоящее время еще нельзя считать окончательно решенными. Выбор того или иного из них влечет определенные различия в развертывании содержания линии уравнений и неравенств. Так, с термином «переменная» связана операция подстановки числа вместо буквы, поэтому в уравнение а(х)=b
[х) можно подставлять вместо х конкретные числа и находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное число; подставлять число на место буквы, обозначающей неизвестное, поэтому нелогично. Нахождение корней уравнения а{х)=b
{х) с этой точки зрения должно осуществляться с помощью действий, при которых это равенство рассматривают как верное и пытаются привести его к виду х=х0
, где х0
— числовое выражение.
Равносильность и логическое следование.
Рассмотрим логические средства, используемые в процессе изучения уравнений и неравенств. Наиболее важным среди них является понятие равносильности.
Напомним, что уравнения называются равносильными, если равносильны соответствующие предикаты, т. е. если выполнены условия: области определения уравнений одинаковы и множества их корней равны. Имеются два пути установления равносильности уравнений. Первый: используя известные множества корней уравнений, убедиться в их совпадении; например, уравнения х + 1=х + 2 и x2 + 1=x2 + 2 равносильны, потому что не имеют корней. Второй: используя особенности записи уравнений, осуществить последовательный переход от одной записи к другой посредством преобразований, не нарушающих равносильности.
В связи с рассматриваемым вопросом в изучении материала линии уравнений и неравенств можно выделить три основных этапа. Первый этап охватывает начальный курс школьной математики и начало курса алгебры. Здесь происходит ознакомление с различными способами решения отдельных, наиболее простых классов уравнений.
На втором этапе происходит выделение понятия равносильности и сопоставление его теоретического содержания с правилами преобразований, которые выводятся на его основе. Длительность этого этапа незначительна, поскольку на нем происходит только выделение этого понятия и его использование на нескольких теоретических примерах.
На третьем этапе на основе общего понятия равносильности происходит развертывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений.
. Методика работы с понятием логического следования (а также с представлением о нем в случае, если понятие не вводится) имеет много общих черт с методикой изучения равносильности и равносильных преобразований.
Логическое следование начинает применяться значительно позже равносильности и осваивается в качестве некоторого дополнения к нему. При решении уравнений при прочих равных условиях предпочтение отдается равносильному преобразованию; логическое следование применяется лишь тогда, когда соответствующего равносильного преобразования найти не удается. Это, однако, не означает, что использование логического следования — вынужденная мера. Нередко в практике работы учителей логическое следование применяется как прием, упрощающий процесс решения, если сохранение равносильности может быть достигнуто сравнительно дорогой ценой.
Среди неравносильных преобразований есть преобразования, не являющиеся логическим следованием. Например, переход к рассмотрению частного случая (пример: переход от уравнения а -b
=
0
к рассмотрению уравнения а=0). Такие переходы можно рассматривать как практические приемы, позволяющие сосредоточить внимание на отдельных шагах процесса решения уравнения.
Дата публикования: 2015-01-24; Прочитано: 2081 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
