Методические особенности изучения и использования свойств тригонометрических функций в курсе математики средней школы

На современном этапе учебный материал по тригонометрии изучается небольшими порциями в курсе геометрии 8, 9 классов, а затем в курсе алгебры и начал анализа в 10-11 классах. Это связано с постепенным расширением понятий угла и дуги и связанных с ними определениями тригонометрических функций.
Систематическое изучение тригонометрических функций числового аргумента осуществляется в 10 классе. На подготовительном этапе целесообразно освоить с учащимися общие знания о функции: ее свойствах и графике.

Основные свойства: Y = sin(x)

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Основные свойства: Y = cos(x)

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Основные свойства: Y = tg(x)

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

Основные свойства: Y = ctg(x)

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

При изучении каждой из тригонометрических функций целесообразно организовать продуктивное обучение через создание и разрешение образовательных ситуаций (мотивация, проблематизация, создание продуктов образовательной деятельности, демонстрация продуктов и их сравнение, рефлексия).
При создании образовательной среды учитель дает направление поисковой деятельности учащихся: а) построить график тригонометрической функции по точкам и сформулировать ее свойства; б) исследовать формулу, задающую тригонометрическую функцию, и по результатам исследования построить график.

22-23 Методика изучения свойства и их приложения. Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ). Можно построить функцию: , , область определения которой – множество действительных чисел, необходимо ввести определение, степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r₁< α< r₂. Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех a^r1 и наименьшим среди всех a^r2, которое можно считать значением a^α.

Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=a^x (, ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(a^x)=R; E(a^x)=R_Т; a^x возрастает при a>1 и a^x убывает при 0

В качестве приложения свойств показательной функции рассматриваются решения простейших показательных уравнений и неравенств.

Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения a^x=b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают log_ab, т.е. a^logab=b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом и любых положительных x и y, выполнены равенства:

1. log_a1=0

2. log_aa=1

3. log_axy= log_ax+ log_ay

4. log_ax/y= log_ax- log_ay

5. log_ax^p= plog_ax

При доказательстве используется основное логарифмическое тождество:

x=a^logax; y=a^logay

Рассмотрим доказательство 3:

xy=a^logax a ^logay=a^logax+logay т.е. xy=a^logax+logay=a^logaxy, ч.т.д.

Основные свойства логарифма широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы.

Методика изучения логарифмической функции
Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием . Основные свойства выводится из свойств показательной функции:
1. ,
т.к. при решении уравнения
,
т.е. любое положительное число имеет логарифм по основанию .
2. ,
т.к. по определению логарифма любого действительного числа справедливо равенство:
,
т.е. функции вида принимает значение в точке .
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1).
Покажем, что при a>1 возрастает. Пусть и , надо доказать, что: . Допустим противное, т.е. что . Т.к. показательная функция при a>1 возрастает, то из неравенства следует: , что противоречит выбору . Следовательно: и функция при a>1 – возрастает.
Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции.
(a^x)'=a^xln a
Дифференцируемость логарифмической функции следует из того, что: графики у=а^х и у=log _ax симметричны относительно у=х. Показательная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет негоризонтальную касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет невертикальную касательную в любой точке, а это равносильно дифференцируемости логарифмической функции на ее области определения.