Функциональная линия в школьном курсе математики и ее дидактические особенности

Обоснование функциональной линии как ведущей для школьного курса математики — одно из крупнейших достижений современной методики. Однако реализация этого положения может быть проведена многими различными путями; многообразие путей вызвано фундаментальностью самого понятия функции.

Обоснование функциональной линии как ведущей для школьного курса математики — одно из крупнейших достижений современной методики. Однако реализация этого положения может быть проведена многими различными путями; многообразие путей вызвано фундаментальностью самого понятия функции.

Для того чтобы составить представление об этом многообразии, сравним двенаиболее резко различающиеся методические трактовки этого понятия; первую мы назовем генетической, а вторую — логической.

Генетическая трактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции до середины XIX в. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.

Генетическое развертывание понятия функции обладает рядом достоинств. В нем подчеркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нем, выражаются аналитически или таблично.

Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определенными на числовых промежутках). В обучении приходится, используя и развивая функциональные представления, постоянно выходить за пределы его первоначального описания.

Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия функции в рамках понятия алгебраической системы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения.

Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств; язык школьной математики при этом обогащается. Помимо формул и таблиц, здесь находят свое место задание функции стрелками, перечислением пар, использование не только числового, но и геометрического материала; геометрическое преобразование при таком подходе оказывается возможным рассматривать как функцию. Обобщенность возникающего понятия и вытекающие отсюда возможности установления разнообразных связей в обучении математике — основные достоинства такой трактовки.

Однако выработанное на этом пути общее понятие оказывается в дальнейшем связанным главным образом с числовыми функциями одного числового аргумента, т. е. с той областью, в которой оно гораздо проще формируется на генетической основе.

Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает определенную избыточность. Отметим, что различия в трактовках функции проявляются с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем изучении функциональной линии различия постепенно стираются, поскольку изучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачах естествознания и общественного производства.

В современном школьном курсе математики в итоге длительных методических поисков в качестве ведущего был принят генетический подход к понятию функции. Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из логического подхода. Исходя из этого при формировании понятий и представлений, методов и приемов в составе функциональной линии система обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией, и, во-вторых, на установлении их взаимодействия при развертывании учебного материала. Иными словами, в обучении должна быть выделена система компонентов понятия функции и установлена связь между ними. В эту систему входят такие компоненты:

- представление о функциональной зависимости переменных

величин в реальных процессах и в математике;

- представление о функции как о соответствии;

- построение и использование графиков функций, исследование функций;

- вычисление значений функций, определенных различными

способами.

В процессе обучения алгебре все указанные компоненты присутствуют при любом подходе к понятию функции, но акцент может быть сделан на одном из них. Как только что мы отметили, функциональный компонент является основой введения и изучения понятия функции. На этой основе при организации работы над определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных способах задания функциональной зависимости и ее графического представления.

Рассмотрим теперь взаимодействие компонентов на примере, относящемся к формированию прикладных умений и навыков.

Пример 1. С мороза в комнату внесли банку со льдом и стали наблюдать за изменением температуры вещества в банке: лед постепенно таял, когда он растаял весь, температура воды стала повышаться, пока не сравнялась с температурой в комнате. На рисунке изображен график зависимости температуры от времени.

Ответьте на вопросы: а) Какова исходная температура льда? б) За какое время температура льда повысилась до 0 °С? в) Какая температура в комнате? г) Укажите область, на которой определена функция, промежутки ее возрастания, промежуток, на котором она постоянна.

В этом примере необходимо использовать все компоненты, кроме последнего, вычислительного компонента. Процесс с самого начала представлен как функциональная зависимость. В вопросах требуется уточнить характер этой зависимости (вопрос г)), выяснить соответствующие значения функции и аргумента в определенные моменты процесса (вопросы а) и в)).

Понятие функции, в системе формирования которого должны присутствовать такие задания, сразу выступает в курсе математики как определённая математическая модель, что и является мотивировкой для его углублённого изучения.

16. Возможная методическая схема изучения функций:

1. Рассмотреть конкретные ситуации (или задачи), приводящие к данной функции.

На этом этапе изучения учащиеся должны убедится в целесообразности изучения данной функции, исходя из соображений практики или необходимости дальнейшего развития теории.

2. Сформулировать определение данной функции, дать запись функции формулой, провести исследование входящих в эту формулу параметров.

На этом этапе изучения учащиеся получают чёткое представление о данной функции, о её характеристических свойствах, выделяющих данную функцию из множества других.

3. Ознакомить учащихся с графиком данной функции.

На этом этапе учащиеся учатся изображать изучаемую функцию графически, отличать по графику данную функцию от других, заданных графиком функций, устанавливать влияние параметров на характер графического изображения функции.

4. Исследовать функцию на основные свойства: области определения и значений, возрастание и убывание, промежутки знакопостоянства, нули, экстремумы, чётность или нечётность (или отсутствие этих свойств), периодичность, ограниченность, непрерывность.

5. Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.

Этот этап является этапом закрепления основных понятий и теоретических положений, связанных с изучаемой функцией, а также этапом формирования соответствующих умений и навыков.

Эта методическая схема является своеобразным планом – программой для изучения любой функции, но нужно иметь в виду, что содержание материала и практика обучения вносят в неё соответствующие коррективы.

17.Числовые последовательности и прогрессии. Методика изучения арифметической и геометрической прогрессий в курсе мат. средней школы.
Предположим, что каждому натуральному числу соответствует определенное действительное число: числу 1 соответствует а₁, числу 2 – а₂, числу n – а_n. В таком случае мы говорим, что задана числовая последовательность, которую записывают так: а₁, а₂, …, а_n, где а₁ – первый член, а₂ – второй член, …, а_n – n-й член последовательности.

Существует три основных способа задания последовательности.

1. Аналитический. Последовательность задается формулой n-го члена; например, формулой а_n = n/(n+1) задается последовательность а₁, а₂, …, а_n, у которой

а₁ = 1/(1+1) = 1/2; а₂ = 2/(2+1) = 2/3 …;

т.е. последовательность 1/2, 2/3, 3/4, …, n/(n + 1).

2. Реккурентный. Любой член последовательности выражается через предшествующие члены. При данном способе задания последовательности обязательно указывается первый член последовательности и формула, которая позволяет вычислить любой член последовательности по известным предыдущим членам.

Найдем несколько членов последовательности а₁ = 1, а₂ = 1…, а_n+2 = а_n + а_n+1.

а₃ = а₁ + а₂ = 1 + 1 = 2;

а₄ = а₂ + а₃ = 1 + 2 = 3 и др.

В результате получаем последовательность: 1, 1, 2, 3, 5 ….

3. Словесный. Это задание последовательности описанием. Например, последовательность десятичных приближений по недостатку числа е.

Последовательности бывают возрастающими и убывающими.

Последовательность (а_n), каждый член которой меньше следующего за ним, т.е. если а_n < а_n+1 для любого n, называется возрастающей последовательностью.

Последовательность (а_n), каждый член которой больше следующего за ним, т.е. если а_n > а_n+1 для любого n, называется убывающей последователностью.

Например:

а) 1, 4, 9, 16, 25, …, n², … – последовательность возрастающая;

б) -1, -2, -3, -4, …, -n, … – последовательность убывающая;

в) -1, 2, -3, 4, -5, 6, …, (-1)ⁿ ∙ n, … – не возрастающая и не убывающая последовательность;

г) 3, 3, 3, 3, 3, 3, …, 3, … – постоянная (стационарная) последовательность.

1. Арифметическая прогрессия a₁, a₂,..., a_n,... определяется первым членом a₁ и разностью d, т. е. может быть записана так:

a_1, a₁+d,..., a₁+(n-1)d,...

Важно помнить следующие формулы:

Формула n-го члена прогрессии: a_n=a₁+(n-1)d;

Сумма первых n членов прогрессии:
Свойство членов прогрессии: , где k = 2, 3, …, n,…

(каждый член прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего).

2. Геометрическая прогрессия b₁, b₂,..., b_n,... определяется первым членом b₁ и знаменателем q, где q ≠ 0 и q ≠ 1 т.е.:

b₁, b₁q,..., b₁q^n-1,...

Основные формулы:

Формула n-го члена прогрессии: b_n=b₁q^n-1;

Сумма первых n членов прогрессии: , где q ≠ 1;

Свойство членов прогрессии: b_k²=b_k-1b_k+1, где k = 2, 3, …, n,…

(каждый член прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое или среднее пропорциональное предыдущего и последующего).

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (|q|<1).

Сумма всех членов прогрессии: .

Пример 1. Найдите сумму всех целых чисел, начиная от 30 и до 80 включительно.

Решение:

Сумма всех целых чисел от 30 и до 80 включительно представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, где а₁ = 30, разность d = 1, а количество членов n = 51.

.

Ответ: 2805.

Учение о прогрессиях является существенной, хотя и несколько изолированной от остальных разделов, частью курса алгебры.

На первом уроке темы необходимо разъяснить смысл понятий последовательность, п-й член последовательности, выработать умение использовать индексные обозначения.

Сведения, полученные учащимися на первом уроке темы, используются при введении понятия арифметическая и геометрическая прогрессия, выводе формул п -го члена и суммы п членов для каждой из прогрессий.

Прогрессии (арифметическая и геометрическая) являются простейшими примерами последовательностей, заданных рекуррентным способом. На это обстоятельство сразу следует обратить внимание учащихся и использовать его, формулируя определение прогрессий.

Так, арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением.

Если последовательность вводится рекуррентным способом, то, как известно, для полного ее задания нужно указать начальные члены; в частности, для арифметической прогрессии нужно задать первый ее член. Итак, арифметическая прогрессия будет определена полностью, если заданы ее первый член и разность. Арифметическая прогрессия с первым членом и разностью d определяется индуктивно условиями: и.

Полезно обратить внимание учащихся на то, что натуральные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 1и:1, 2, 3, 4....

Геометрическая прогрессия по определению также представляет собой последовательность, задаваемую следующим рекуррентным соотношением:,т.е. задается условиями: и.

Первое знакомство учащихся с прогрессиями (как арифметической, так и геометрической) можно начать с конкретных примеров нескольких последовательностей, среди которых имеются, например, арифметические прогрессии. Рассматривая эти примеры, учащиеся могут выявить характеристические свойства последовательностей некоторого вида, которые учитель затем называет арифметическими прогрессиями и предлагает учащимся самостоятельно сформулировать определение такой прогрессии.

Следует указать учащимся, что любую постоянную последовательность, каждый член которой принимает значение, равное числу с, можно рассматривать и как арифметическую прогрессию с разностью, и как геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1.

В зависимости от значения разности прогрессии d (или знаменателя прогрессии q)характер поведения членов прогрессии различен. Так, арифметическая прогрессия будет возрастающей, если, и будет убывающей, если d < 0.

Несколько сложнее обстоит дело с геометрической прогрессией. Поэтому характер поведения геометрической прогрессии в зависимости от значений q следует разобрать с учащимися более детально, например, по такому плану:

1) Пусть q > 1, тогда члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и возрастают по модулю.

Пример 1. 1, 3, 9, 27, 81,... (т. е., q = 3), или - 2, - 8, - 32,... (т. е.).

2) При q = 1 все члены геометрической прогрессии одинаковы, т. е., а при все члены геометрической прогрессии отличаются друг от друга лишь знаками, т.е. [17].

Необходимым условием приобретения умений решать задачи и примеры с прогрессиями является знание всех формул из этой темы и наличие навыков их преобразования. Поэтому на практике необходимо уделять особое внимание приемам, позволяющим повышать эффективность усвоения учащимися формул и выражать из них неизвестные величины.

Рассмотрим некоторые формы отработки знаний формул темы «Прогрессии», позволяющие активизировать познавательную деятельность учащихся.

1. Дидактическая карточка «Эстафета формул»

При изучении нескольких формул темы «Прогрессии» целесообразно применение дидактических карточек «Эстафета формул». На листе бумаги в столбик записаны формулы, в которых вместо какой-либо величины вырезан круг.

Найти:

п-й член арифметической прогрессии

разность арифметической прогрессии сумма первых п членов арифметической прогрессии

сумма бесконечной геометрической прогрессии, при характеристическое свойство арифметической прогрессии

сумма первых п членов геометрической прогрессии

Данные формы отработки знания формул и умения работать с ними могут быть использованы также при изучении других тем школьного курса математики.