Системы с использованием нечеткой логики

Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики. Данные понятия были впервые предложены американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.

Широкое использование нечеткой логики началось после доказательства в конце 80-х Бартоломеем Коско теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem), где доказано, что любая математическая система может быть аппроксимирована с использованием нечеткой логики, то есть, с помощью естественно-языковых высказываний-правил “Если - то”, с последующей их формализацией средствами теории нечетких множеств, можно сколько угодно точно отразить произвольную взаимосвязь “входы-выход”.

Широкое использование нечеткой логики началось после доказательства в конце 80-х Бартоломеем Коско теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem), где доказано, что любая математическая система может быть аппроксимирована с использованием нечеткой логики, то есть, с помощью естественно-языковых высказываний-правил “Если - то”, с последующей их формализацией средствами теории нечетких множеств, можно сколько угодно точно отразить произвольную взаимосвязь “входы-выход”.

Лингвистическая переменная — в теории нечётких множеств, переменная, которая может принимать значения фраз из естественного или искусственного языка. Например, лингвистическая переменная «успех» может иметь значения «жизнь удалась», «значительный», «средний», «жизненная катастрофа» и т. д. Фразы, значение которых принимает переменная, в свою очередь являются именами нечетких переменных и описываются нечетким множеством.

Нечеткое подмножество F множества U определяется через функцию принадлежности , где . Эта функция принадлежности отображает элементы u множества U на множество чисел в отрезке [0,1], которые указывают степень близости этих элементов множеству F. Так, например, для лингвистической переменной возраст можно записать следующую функцию принадлежности

Формализуем неточное определение «теплая вода», при принятии решения возможности купания на пляже с помощью функции принадлежности

В нечеткой логике существуют операции аналогичные операциям обычной логики И, ИЛИ, НЕ

И M_c(x)= min(M_a(x), M_b(x))

ИЛИ M_c(x)=max(M_a(x), M_b(x))

НЕ А 1-M_a(x)

Пример