Оценка качества переходной характеристики по расположению нулей и полюсов передаточной функции

Переходная характеристика зависит от распределения нулей и полюсов передаточной функции CAУ. Известен ряд методов, использующих эту зависимость для оценки качества переходной характеристики. Качество регулирования зависит также от взаимного расположения нулей и полюсов изображения внешнего воздействия [5].

В простейшем случае передаточная функция CAP относительно внешнего воздействия g (t) не имеет нулей:

. (2.117)

Тогда переходная характеристика и ее показатели качества полностью определяются распределением полюсов W_g (p), т. е. корнями характеристического уравнения

(2.118)

Будем рассматривать устойчивую систему: все коэффициенты уравнения (2.118) положительные и его корни p ₁, p ₂,..., p _n располагаются слева от мнимой оси комплексной плоскости. Некоторой обобщенной оценкой числового значения коэффициентов уравнения (2.118) и его корней может служить параметр

, (2.119)

называемый среднегеометрическим корнем.

Параметр , служит мерой быстроты протекания переходных процессов. Увеличение в С раз ведет к уменьшению время регулирования в С раз, при неизменной форме переходной характеристики. Для увеличения следует увеличивать передаточный коэффициент k разомкнутой CAP.

Предварительные (и весьма приближенные) сведения о расположении корней можно получить на основании следующих соотношений между коэффициентами уравнения (2.118):

1) при модули всех корней меньше единицы;

2) при модули всех корней больше единицы;

3) если все отношения последующего коэффициента к предыдущему заключены между положительными числами т и М, т. е. .

Точнее область расположения корней характеристического уравнения принято определять параметрами рис. 2.24 (а – ближайшие корни комплексные сопряженные; б – ближайший корень вещественный).

Параметр , называемый степенью устойчивости, есть расстояние от мнимой оси до ближайшего корня, т. е. величина его вещественной части.

Параметр есть расстояние от мнимой оси до наиболее удаленного корня, его вещественной части.

Параметр , называемый колебательностью, есть отношение мнимой части ближайшего комплексного корня к вещественной :

. (2.120)

Для вычисления в ряде работ рекомендуют следующий метод. В характеристическое уравнение (2.118) подставляют и получают смещенное уравнение

(2.121)

где коэффициенты А_j являются функциями а_j, и .

Уравнение (2.121) получено в результате смещения мнимой оси плоскости корней уравнения (2.118) влево на величину . При этом пара комплексных сопряженных корней или вещественный корень уравнения (2.121) по определению попадают на мнимую ось. Поэтому смещенное уравнение (2.118) соответствует границе устойчивости и для вычисления к этому уравнению следует применить любой критерий устойчивости.

Так, по критерию Гурвица апериодической границе устойчивости (вещественный корень обратился в нуль) соответствует уравнение

. (2.122)

Колебательной границе устойчивости (пара комплексных сопряженных корней обратилась в пару чисто мнимых) соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица уравнения (2.121):

. (2.123)

Из уравнения (2.122) или (2.123) можно определить степень устойчивости η.

Однако при использовании критерия Гурвица этот метод не дает каких-либо преимуществ, так как степень уравнения (2.122) равна n, а степень уравнения (2.123) больше п.

Параметры и предпочтительнее использовать не для оценки качества регулирования, а для синтеза CAУ по заданным значениям этих параметров.

Приближенная связь между параметрами , и показателями качества переходной характеристики заключается в том, что корни характеристического уравнения, расположенные ближе к мнимой оси, т. е. имеющие наименьшую, но абсолютной величине вещественную часть, дают составляющие переходной характеристики, которые затухают наиболее медленно. Поэтому по степени устойчивости можно приближенно определить время регулирования, т. е. время, по истечении которого h(t) отклоняется от h_y не более чем на 5%:

, (2.124)

если ближайший к мнимой оси корень вещественный, и

, (2.125)

если ближайшей к мнимой оси является пара комплексных сопряженных корней.

По значению можно также построить мажоранты и миноранты, т. е. кривые, определяющие область, в которой располагается переходная характеристика при типовом расположении корней и типовых начальных условиях.

Значение колебательности , позволяет определить приближенное значение перерегулирования переходной характеристики в %:

, (2.126)

если ближе к мнимой оси расположена пара комплексных сопряженных корней.

Колебательность связана с еще одним показателем качества переходной характеристики — с затуханием . Затухание за период в %

, (2.127)

где С ₁ и С ₂ — первая и вторая амплитуды синусоидальной составляющей переходной характеристики, т. е. составляющей, соответствующей комплексным сопряженным корням.

Взаимозависимость и определяется следующими формулами:

; (2.128)

(2.129)

В CAУ обычно допускают . При == 98% допустимая колебательность , а при .

Итак в устойчивой замкнутой системе:

1. Близко расположенные полюс и нуль взаимно компенсируются, их расположение считается близким, если , где p_j – полюс, l_i – нуль.

2. Уменьшение амплитуды колебательной составляющей, создаваемой комплексными полюсами, и приближение к асимптоте экспоненциальной составляющей, создаваемой действительным полюсом, происходит тем быстрее, чем больше модуль полюса.

3. Время регулирования t_р переходной характеристики зависит в основном от абсолютного значения вещественной части доминирующих полюсов или полюса. Доминируют ближайшие к мнимой оси комплексные корни или ближайший действительный корень. Приближенное значение t_р»3/h.

4. Перерегулирование переходной характеристики зависит от декремента затухания (отношения действительной части к мнимой) доминирующих комплексных полюсов .

5. Близкие к началу координат нули, если они не компенсируют полюса и удаленные от него, но не доминирующие полюса увеличивают время регулирования и перерегулирования.

6. Полюсы передаточной функции следует по возможности удалять от мнимой оси. Чем дальше полюсы от мнимой оси, тем быстрее затухает свободная составляющая.

7. По расположению полюсов можно определить степень устойчивости h, колебательность m и затухание x системы (рис. 2.24).