Методы оценки качества регулирования

Качество процесса регулирования является второй после устойчивости основной задачей при расчете и исследовании динамики системы, т. к. оно предполагает обеспечение заданных показателей быстродействия, характера переходного процесса, точности в установленном режиме.

Всякая реальная система автоматического регулирования действует в разнообразных режимах, которые отличаются значениями задающего воздействия и возмущений или характером их изменения. Чем меньшие значения имеет при этом рассогласование, тем выше качество регулирования. Однако создать единую объективную числовую оценку качества регулирования оказалось невозможным, поэтому существуют лишь частичные оценки отдельных наиболее характерных режимов.

В практике инженерных расчетов используют оценки точности в установившихся режимах и оценки качества переходных процессов. Последние оценки разделяют на прямые и косвенные. Так, показатели запаса устойчивости по фазе и по модулю лишь косвенно характеризуют характер переходных процессов и являются, таким образом, косвенными оценками качества.

Следует иметь в виду, что оценки качества используются как при анализе спроектированных CAУ, так и при их синтезе [5]. В первом случае можно воспользоваться несколькими оценками с тем, чтобы полнее выяснить свойства системы. Во втором же случае решение задачи возможно лишь при использовании ограниченного числа оценок. Иногда рассматривают лишь одну оценку.

Прямые методы анализа качества САУ, заключаются в решении неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, и позволяют построить исследуемый процесс непосредственно.

Прямые методы анализа качества совпадают с методами решения уравнений, и имеют основной недостаток – трудоемкое решение характеристического уравнения замкнутой системы. Операторный метод уменьшает трудоемкость, но остается решение характеристического уравнения замкнутой системы и разложение изображения на элементарные дроби.

Косвенные методы исследования процессов управления позволяют установить влияние структуры и параметров системы на быстроту и плавность протекания переходных процессов.

Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье проводится по расчетным или экспериментальным частотным характеристикам, по которым исследуется устойчивость. Решение характеристического уравнения не требуется, что снижает трудоемкость этого метода. Он позволяет по расчетным и экспериментальным характеристикам разомкнутой системы оценить качество замкнутой системы, проследить влияние изменения структуры и параметров системы. В основе лежит исследование АЧХ замкнутой системы.

Интегральные методы. Наиболее сжатое представление о каком-либо процессе, очевидно, достигается, когда этот процесс можно охарактеризовать одним числом, значение которого достаточно полно отражает протекание процесса. В математике оценки этого типа называются функционалами и часто задаются определенным интегралом

, (2.103)

численное значение которого для зависимости определяется всем ходом процесса при . Задача минимизации таких оценок позволяет осуществить синтез оптимальных систем.

Корневые методы. Это методы оценки качества по расположению корней характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости . Удобно для систем до 3 порядка.

Применение тех или иных оценок при анализе и синтезе определяется не только объективными факторами (прежде всего назначением CAУ), но также и личным опитом проектировщика.

СТАТИЧЕСКАЯ ТОЧНОСТЬ

Один из основных режимов CAУ (прежде всего систем стабилизации)—это установившийся режим при постоянных значениях задающего воздействия и возмущения: g = g ₀ и f = f ₀ где g _o и f ₀ — постоянные. В этом режиме установившееся; значение х_у ошибки (рассогласования) имеет две составляющие:

х_у =х_у1+х_{у2 .} (2.104)

Здесь х_у1 — ошибка воспроизведения задающего воздействия, а х_у2 — ошибка, создаваемая возмущением. При этом не принимают в расчет ошибки, обусловленные нечувствительностью регулятора (прежде всего зоной нечувствительности датчика и элемента сравнения) и другие ошибки, связанные с неидеальной линейностью системы. Устранение этой дополнительной погрешности связано с повышением класса точности элементов регулятора, что ведет к повышению его стоимости и ограничено техническими возможностями.

При нескольких возмущениях составляющая х_у2 имеет несколько слагаемых. Если x_y1= x_y2= 0 и система является астатической как относительно задающего воздействия, так и относительно возмущения. Таким образом, астатизм может быть достигнут соответствующим включением интегрирующего звена в прямую цепь системы регулирования по отклонению. При включении двух интегрирующих звеньев достигается астатизм второго порядка и устраняется установившаяся ошибка от внешнего воздействия, изменяющегося с постоянной скоростью.

Установившиеся значение ошибки х_у1 воспроизведения задающего воздействия g=g(t), являющегося произвольной, но достаточно плавной функцией времени, можно определить с помощью коэффициентов ошибок С ₀, С ₁, С ₂, … по формуле

(2.105)

Коэффициенты ошибок можно вычислить по передаточной функции W _x= W _x(p) для ошибки слежения и ее производным по p при p =0:

_; (2.106)

В статической системе

(2.107)

В астатической С ₀=0, С ₁= .

Передаточный коэффициент разомкнутой системы называют добротностью по скорости. Постоянное воздействие g в этом случае не создает установившиеся ошибки.

При двух интегрирующих звеньях в прямой цепи системы C ₀= C ₁=0, C ₂= . Такая система является астатической второго порядка, коэффициент называют добротностью по ускорению. В такой системе постоянное воздействие, а также воздействие, пропорциональное времени, не создают установившиеся ошибки. Вообще говоря, могут быть системы с астатизмом третьего и более высокого порядков.

ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Среди возможных режимов CAУ важное значение имеет переходный процесс, возникающий при быстром (в пределе мгновенном) изменении задающего воздействия или возмущения от одного значения до другого [5]. Чем с большей скоростью и плавностью протекает такой процесс, тем меньше продолжительность и величина рассогласования.

Поэтому одной из оценок качества регулирования (прямой оценкой) служит оценка качества переходной характеристики CAУ относительно задающего воздействия. При этом имеется в виду, что чем лучше переходная характеристика, тем лучше система будет отрабатывать произвольное задающее воздействие.

Переходные характеристики бывают колебательными и монотонными.

Особенность колебательной переходной характеристики в наличии переходов через установившееся значение (перерегулирований). Если только одно перерегулирование, то характеристика малоколебательная.

У монотонной характеристики не изменяется знак скорости:

Иногда к монотонным относят характеристики без перерегулирования.

К основным показателям качества переходной характеристики относят перерегулирование а и время регулирования.

Перерегулированием оценивают разность между максимальным значением переходной характеристики и ее установившимся значением . Перерегулирование выражают в процентах:

(2.108)

В большинстве случаев требуется, чтобы перерегулирование не превышало 10—30%. Иногда требуется, чтобы перерегулирование отсутствовало и процесс был монотонным. В некоторых CAУ допускают перерегулирование до 50% и более.

Временем регулирования оценивают длительность переходного процесса. Однако в идеальной линейной системе переходный процесс бесконечен, поэтому временем регулирования t_p считают тот промежуток времени, по истечении которого отклонения переходной характеристики h от установившегося значения h_y не превышают допустимого значения Δ:

(2.109)

На рис. 2.23 время регулирования указано для каждой из трех характеристик.

Значение Δ выбирают обычно равным 5%. Иногда устанавливают Δ = 2% и даже Δ= 1%, но такой выбор следует аргументировать.

При заданных значениях и переходная характеристика не должна выходить из определенной области, называемой областью допустимых отклонений.

Существенным показателем качества служит также число колебаний, т. е. число максимумов характеристики за время регулирования. Обычно бывает одно- два колебания. Допускается до трех-четырех колебаний.

Всякая CAP имеет своей целью кроме воспроизведения задающего воздействия подавление (уменьшение влияния) возмущений. Поэтому качество регулирования оценивают также по переходной характеристике системы по возмущению h_f. Основная особенность этой характеристики в том, что ее установившееся значение должно быть весьма мало в статической системе (кривая 1) и равно нулю в астатической системе (кривые 2 и 3). Характеристику, пересекающую ось абсцисс, называют колебательной (кривые 1 и 2) и, не имеющую этого пересечения, называют монотонной (кривая 3).

Для определения времени регулирования характеристики служит то же значение Δ, что и при определении времени регулирования характеристики h (в астатической системе значение Δ откладывают от оси абсцисс).

Понятие перерегулирования для характеристик не имеет смысла, и их оценивают непосредственно максимальным значением . На рис. 2.23 указаны значения времени регулирования t_p и максимальные значения h_fmax для всех трех характеристик.

Качество CAУ оценивают и по переходным характеристикам h_x для ошибки слежения. Они отличаются от h_f тем, что их начальное значение не равно нулю, а установившееся мало или равно нулю.

Интегральные оценки есть оценки качества переходной характеристики быстроты затухания колебаний и величины отклонения от установившегося значения. Они удобны для сравнения близких по структуре систем (лучшая из них имеет меньшую интегральную оценку) и для выбора параметров системы. Обычно используются интегральные оценки системы относительно задающего воздействия. Иногда рассматриваются такие оценки относительно возмущения. Наиболее употребительны следующие оценки.

Линейная интегральная оценка равна площади, ограниченной кривой x (t), и выражается через изображение рассогласования:

. (2.110)

Линейную интегральную опенку можно применять только для монотонной переходной характеристики. При колебательной переходной характеристике суммарная площадь, ограниченная кривой x (t), совершенно не характеризует процесс.

Используются, кроме того, линейные интегральные оценки более общего вида:

. (2.111)

Они связаны с коэффициентами ошибки и позволяют определять приближенное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Квадратичная интегральная оценка

(2.112)

может применяться как для монотонных, так и для колебательных переходных процессов. Она зависит только от величины, но не от знаков отклонении.

Улучшенная квадратичная интегральная оценка

(2.113)

где Т — некоторая постоянная. Чем меньше значение , тем меньше отклонение х (t) переходной характеристики от экспоненты у(t) с постоянной времени Т, называемой экстремалью,

. (2.114)

Для вычисления оценки ее разделяют на два слагаемых:

(2.115)

По определению х (t)= h_y — h (t) и, следовательно, х (t)=— h (t), так как h _y=0. Преобразование Лапласа функции h (t) имеет вид:

. (2.116)