Систем автоматического управления

Подавляющее большинство объектов регулирования, исполнительных механизмов и других элементов регуляторов имеет инерционность. Изменение их входных воздействий отражается на выходных величинах не сразу, а постепенно, и характер реакции зависит, вообще говоря, от предыстории поведения системы. Минимальная информация о предыстории, которой необходимо располагать для того, чтобы иметь возможность по будущим значениям выходных воздействий однозначно определять будущие значения выходных величин, называется информацией о состоянии системы. Для большинства случаев, информация о состоянии системы содержится в значениях выходных величин и некоторого числа их производных по времени. Поэтому и описание поведения системы (изменения её состояния) должно включать в себя выходные величины и их производные, т.е. представлять собой дифференциальное уравнения [4].

В практике автоматического регулирования наибольшее распространение получили линейные системы, т.е. системы, поведение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями, имеющими аналитические решения. Для таких систем достаточно определять реакции на некоторые эталонные воздействия и затем делать выводы относительно влияния воздействий произвольного вида. На этом основании частотный метод и метод передаточных функций широко используется при инженерных расчетах линейных систем автоматического регулирования.

Для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами выполняется чрезвычайно важный принцип суперпозиции. Он заключается в том, что каждая входная величина (заданная функция времени) создает составляющую выходной величины (искомой функции времени) независимо как от наличия и характера изменения других входных величин, так и от начальных условий. Вместе с тем начальные условия вызывают переходный процесс, который не зависит от входных величин. Начальными условиями уравнения порядка n называются значения выходной величины (искомой функции времени) и ее производных до n -1 включительно в начальный момент времени.

Она из теорем линейной теории систем утверждает, что если система в целом линейна, то должны быть линейными все её динамические подсистемы. Это означает, что для линейности рассматриваемой системы автоматического регулирования должен быть линейным её объект (обеспечить линейность характеристики регулятора можно при его конструировании). Если объект имеет нелинейные исходные уравнения, их заменяют приближенными линейными уравнениями для приращений переменных. Эту задачу называют линеаризацией уравнений. После чего становятся применимыми все методы линейной теории автоматического регулирования.

Перед составлением уравнений выбирают прежде всего так называемые обобщенные координаты, которые представляют собой независимые переменные, характеризующие динамику отдельных элементов, а в совокупности полностью определяют движение всей системы. Число обобщенных координат характеризует число степеней свободы.

После составления уравнений всех звеньев обычно получают систему, состоящую из уравнений первого и второго порядка. Совместное решение этих уравнений относительно одной обобщенной координаты (регулируемой величины) путем исключения промежуточных координат даст уравнение системы регулирования.

В дальнейшем при рассмотрении вопросов динамики систем регулирования примем следующие допущения:

На систему действует возмущение типа единичного скачка.

Возмущение действует непосредственно на объект регулирования.

До возмущения система находится в состоянии установившегося равновесия.

Пример математического описания элементов САУ.

Рассмотрим двигатель постоянного тока (ДПТ) независимого возбуждения (рис 2.1), который состоит из электрического (электрическая цепь) и механического (ротор) элементов.

Уравнение электрического элемента

, (2.1)

где - сопротивление и индуктивность цепи якоря; - ток протекающий по цепи якоря; - напряжение на зажимах якоря; - противоэлектродвижущая сила якоря, пропорциональная частоте вращения w:

, (2.2)

где - коэффициент противоэлектродвижущий силы якоря.

Уравнение движения ротора

, (2.3)

где - момент инерции ротора двигателя и приведенной к нему нагрузки; - внешний возмущающий момент; - момент, развиваемый двигателем, пропорциональный току якоря:

. (2.4)

Примем за входную величину напряжение на зажимах якоря , а за выходную частоту вращения . Из выражений 2.3 и 2.4 выразим ток якоря и найдем его производную:

; . (2.5)

Коэффициент называют коэффициентом передачи двигателя. Подставим полученные выражения в уравнение (2.1)

. (2.6)

Умножив выражение (2.6) на , получим:

. (2.7)

Обозначим - электромеханическая постоянная времени двигателя; - электромагнитная постоянная времени цепи якоря, тогда:

. (2.8)

Уравнение (2.8) связывает выходную величину с входной величиной и возмущением , представляет собой математическое описание двигателя. Дифференциальное уравнение (2.8) является линейным неоднородным уравнением 2-го порядка с правой частью. Зная начальное состояние переменных двигателя, и решив это дифференциальное уравнение классическими методами высшей математики, можно определить значение выходной величины в любой момент времени.

Для того чтобы оценить динамические свойства автоматической системы, следует решить дифференциальное уравнение системы и проанализировать найденное решение. Но решение одного и того же уравнения будет различным при различных формах входного воздействия (возмущения). Поэтому вначале необходимо решить, какую форму входного воздействия целесообразно выбрать.

Динамика любой системы определяется дифференциальным уравнением входящих в нее элементов. Линейное дифференциальное уравнение 3-го порядка можно записать:

, (2.9)

где и - входная и выходная переменные, - возмущающее воздействие.

Решить уравнение динамики, т.е. определить переходный процесс системы можно различными методами: аналитическим, графическим, если уравнение нелинейное – специальными методами нелинейной теории.

Классический метод решения уравнений динамики заключается в получении аналитического выражения общего решения (интеграла) для линейного дифференциального уравнения вида (2.9). Общее решение определяется суммой

, (2.10)

где - частное решение уравнения, определяющее вынужденное установившееся движение, - решение однородного дифференциального уравнения (правая часть = 0), характеризующее свободное движение.

, (2.11)

где - произвольные постоянные коэффициенты, - корни характеристического уравнения:

. (2.12)

Таким образом, по дифференциальному уравнению составляется характеристическое уравнение, и определяются его корни одним из алгебраических методов, далее с учетом начальных условий вычисляются постоянные коэффициенты .

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

В теории автоматического регулирования широко применяется операторная (символическая) форма записи дифференциальных уравнений. В операторной форме дифференциальные уравнения имеют более простой вид, объем записи сокращается. При исследовании систем регулирования во многих случаях операторная форма сокращает промежуточные математические преобразования. При операторной форме записи дифференциальных уравнений пользуются следующими обозначениями. Операцию дифференцирования обозначают

. (2.13)

Тогда дифференциальное уравнение элемента или системы вида (2.9) можно записать следующим образом

. (2.14)

Такая форма записи дифференциального уравнения называется операторной. Она принципиально не отличается от обычной формы записи – это просто более компактная форма записи.

При исследовании и расчетах систем автоматического регулирования используется другая, внешне похожая, но принципиально отличная от операторной, так называемая операционная форма записи [5]. В основе операционной формы записи лежит преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа позволяет функцию x (t) одного переменного (времени t) преобразовать в функцию другого переменного X (p) посредством соотношения

, (2.15)

где p = s + j w – комплексная переменная.

Функция x (t) называется оригиналом, а X (p) – изображением. Сокращенно преобразование Лапласа записывается как . Обратная операция, т.е. нахождение функции x (t) по ее изображению X (p) называется обратным преобразованием Лапласа:

. (2.16)

Символическое обратное преобразование Лапласа имеет вид .

Для линейного дифференциального уравнения n -го порядка можно записать:

,

или (2.17)

где , и - изображения входного, выходного и возмущающего воздействий; , и - операторные многочлены от комплексной переменной .

Справка: многочлен – сумма одночленов. Одночлен – произведение 2-х или нескольких сомножителей, каждый из которых есть либо число, либо буква, либо степень буквы.

Запишем выражение выходной величены в операторном виде:

. (2.18)

Уравнения одного и того же элемента, записанные в операторной (2.14) и операционной (2.17) форме, внешне совершенно одинаковы. Однако,они принципиально отличаются друг от друга. Уравнение (2.14) является дифференциальным, в нем буква р обозначает оператор дифференцирования , а переменные х(t) и y(t) являются реальными функциями времени. Уравнение (2.17) — алгебраическое, в нем р является независимой комплексной переменной, а величины X(р) и Y(р) являются изображениями физических величин х(t) и y(t). Формально от операторной к операционной форме можно перейти путем замены обозначений переменных как функций времени t обозначениями этих переменных как функций комплексной переменной р. Но это можно делать только в том случае, если начальные условия для дифференциального уравнения нулевые. В противном случае в операционном алгебраическом уравнении появятся дополнительные члены, учитывающие начальные условия.

Отмеченные условия полностью совпадают с допущениями, которые приняты нами при рассмотрении методики составления дифференциальных уравнений. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать символ р как алгебраическое число. В тех случаях, когда потребуется учет ненулевых начальных условий, будут сделаны специальные оговорки.

Операционная форма записи уравнений элементов проста и удобна, так как преобразовать и решить алгебраическое уравнение несравненно проще, чем дифференциальное. Именно это и обеспечило ее широкое применение в теории автоматического управления.

Уравнение статики (установившегося движения) можно получить из операторного уравнения, положив .

Например, уравнение (2.8) для двигателя постоянного тока примет вид:

. (2.19)

Таким образом, переходят от дифференциального уравнения к алгебраическому. Отсюда можно найти - изображение выходной переменной и далее по таблицам перейти к оригиналу .

Уравнение статики двигателя постоянного тока получим из (2.19) подстановкой p =0:

. (2.20)

Основные свойства преобразования Лапласа:

Линейность. Для любых постоянных a и b

. (2.21)

Дифференцирование оригинала. При использовании преобразования Лапласа первая производная от x (t) при нулевых начальных условиях будет иметь изображение , вторая , третья и т.д.

Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на p:

. (2.22)

Теорема запаздывания. Для любого положительного числа t

. (2.23)

Теорема о свертке (теорема умножения изображений). Если и – оригиналы, а и – их изображения, то

. (2.24)

Интеграл правой части называют сверткой функций и и обозначают .

Теорема разложения. Если функция дробно-рациональна, причем степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя то обратное преобразование Лапласа (2.16) удобно вычислить как сумму вычетов подынтегральной функции в полюсах, расположенных в области, охватываемой контуром s:

, (2.25)

где – корни уравнения .

Корни уравнения могут быть простыми и кратными. Вычет в простом полюсе равен

(2.26)

Если все корни уравнения простые, то можно записать в виде суммы простых дробей , а обратное преобразование Лапласа в виде

, (2.27)

где – коэффициенты простых дробей можно найти по формуле:

(2.28)

В случае кратных корней также записывают в виде суммы дробей:

, (2.29)

где - кратность корня ; - коэффициенты разложения для простых корней определяются по формуле (2.22), для кратных корней методом неопределенных коэффициентов. Обратное преобразование Лапласа для каждой дроби находят по формуле:

. (2.30)

Например, найдем обратное преобразование Лапласа от . Уравнение имеет простые корни , и кратный корень с кратностью 2. Таким образом, разложение на простые слагаемые имеет вид:

.

Коэффициенты и для простых корней найдем по формуле (2.30):

;

Коэффициенты и для кратных корней найдем методом неопределенных коэффициентов:

Обратное преобразование Лапласа по формуле (2.26):

В общем случае среди корней уравнения могут оказаться комплексно сопряженные корни и , найдем обратное преобразование Лапласа для таких корней. В этом случае . Коэффициенты разложения и найдем по формуле (2.28), они имеют комплексно сопряженные значения:

;

. (2.31)

Обратное преобразование Лапласа для комплексно сопряженных корней имеет вид:

(2.32)

Таким образом, если характеристическое уравнение системы имеет комплексно сопряженные корни , то она имеет собственную частоту колебаний w.

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Передаточной функцией называется отношение изображений Лапласа выходной и входной величин при нулевых начальных условиях. Поэтому для определения передаточных функций элемента нужно сначала преобразовать по Лапласу при нулевых начальных условиях дифференциальное уравнение этого элемента (имеется в виду линейное или линеаризованное уравнение).

Передаточную функцию для задающего воздействия X (p) получают из (2.17) в предположении, что возмущающее воздействие отсутствует F (p)=0

. (2.33)

Передаточную функцию называют передаточной функций по управлению.

Передаточную функцию для возмущающего воздействия F (p) получают из (2.17) в предположении, что управляющее воздействие отсутствует X (p)=0

. (2.34)

Передаточную функцию называют передаточной функций по возмущению.

Используя передаточные функции по управлению (2.33) и возмущению (2.34) в изображениях Лапласа можно записать

. (2.35)

Например, из уравнения (2.19) можно получить передаточные функции по управлению и возмущению для двигателя постоянного тока:

; (2.36)

. (2.37)

При анализе систем автоматического управления требуется определить положение полюсов и нулей передаточной функции в p – плоскости. Полюс – это корень полинома в знаменателе, а ноль – корень полинома в числителе передаточной функции.

Если у полинома порядка N вещественные коэффициенты, то он имеет N корней среди которых могут быть вещественные и комплексно – сопряженные.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ

Структурной схемой системы автоматического управления называют графическое представление ее математической модели. Структурная схема может быть изображена в виде графа, т.е. диаграммы прохождения сигналов, состоящего из направленных узлов и ветвей.

Следует заметить, что структурную схему САУ можно рассматривать как один из видов направленного графа [5]. Направленный граф (граф сигнала, диаграмма прохождения сигнала) представляет собой совокупность узлов (вершин) и соединяющих их ветвей (дуг) с обозначением направления передачи сигналов и их пропускной способности. Рассматривая структурную схему как граф, узлами (вершинами) считают все воздействия – внешние, внутренние и выходное, т.е. регулируемую величину, ветвями (дугами) – динамические звенья, а передаточными функциями определяют их пропускную способность. Структурная схема САУ позволяет составить ее передаточные функции, которые характеризуют свойства системы в целом.

Сложные элементы и САУ состоят из некоторого числа соединений между собой динамических звеньев. При исследовании линейных систем автоматического управления необходимо приводить их структурные схемы к форме, наиболее удобной для исследования. Для этого необходимо структурную схему всей системы представить в виде более простых схем, точек разветвления и сумматоров, соединенных между собой различными способами. Основной принцип перестановки элементов структурной схемы состоит в том, что все входные и выходные переменные преобразованного участка структурной схемы должны остаться неизменными. Например, соседние узлы можно менять местами, и соседние сумматоры можно менять местами.

Наиболее простыми и часто встречающимися (типовыми) соединениями звеньев являются последовательное, параллельное (согласное) и встречно-параллельное (охват звена обратной связью) рис. 2.2.

Рис. 2.2

Последовательное соединение – выходная величина предшествующего звена является входной для последующего (рис. 2.2 а). При этом эквивалентная передаточная функция равна произведению передаточных функций и : ,

. (2.38)

Поскольку операции умножения изображений соответствует операция свертки сигналов, отклик системы y(t) при прохождении сигнала через два последовательно соединенных звена можно найти как свертку функций отклика отдельных звеньев. Отсюда следует вывод о коммутативности последовательного соединения.

Согласное (параллельное) соединение – входная величина одинакова, а выходная равна сумме выходных величин соединенных звеньев (рис. 2.2 б). При этом эквивалентная передаточная функция равна сумме передаточных функций и ; , поскольку

. (2.39)

При параллельном соединении в качестве функции отклика y(t) получаем сумму функций, отвечающих отдельным слагаемым.

Соединение обратная связь – выходная величина одного звена подается на вход другого, а выходная величина этого звена суммируется или вычитается из входной последовательности первого (рис. 2.2 в). При этом эквивалентная передаточная функция определяется по формуле:

. (2.40)

При преобразовании структурных схем может возникнуть необходимость в переносе узла или сумматора через передаточную функцию по ходу или против хода сигнала рис. 2.3.

Рис. 2.3

Преобразование структурных схем проводится с целью определения эквивалентной передаточной функции системы. Для этого, находят и выполняют одно из основных преобразований (последовательное, параллельное или обратная связь). Если такие соединения отсутствуют, выполняют перенос узла или сумматора через передаточную функцию. Перенос узла рекомендуется выполнять через передаточную функцию у которой вход и выход соединен c узлами, и после преобразования будет получено последовательное соединение. Перенос сумматора рекомендуется выполнять через передаточную функцию у которой вход и выход соединен c сумматорами, и после преобразования будет получено последовательное соединение. Если перенести сумматор или узел невозможно, используют преобразование перенос узла через сумматор.

Например, необходимо найти передаточные функции по управлению и возмущению САУ рис. 2.4. Для определения передаточной функции по управлению W_g принимаем возмущающее воздействие f =0. Найдем эквивалентную передаточную функцию W _э2 охваченного обратной связью звена W ₂ (2.40):

. (2.41)

Найдем эквивалентную передаточную функцию W _э1последовательного соединения звеньев W _э2 и W ₁ (2.38):

. (2.42)

Получим передаточную функцию по управлению W_g (2.40):

. (2.43)

Для определения передаточной функции по возмущению W_f принимаем управляющее воздействие g =0. Определим эквивалентную передаточную функцию цепи обратной связи W_ос как последовательное соединение функций W _э1 и W ₀ (2.38):

. (2.44)

Получим передаточную функцию по возмущению W_f по формулам (2.40), (2.38):

. (2.45)

Структурная схема объекта CAУ может быть получена непосредственно из системы дифференциальных уравнений математического описания объекта.

Например, требуется построить структурную схему двигателя постоянного тока (ДПТ НВ) В соответствии с формулами (2.1), (2.2) и (2.5) можно получить структурную схему рис 2.5. и передаточные функции по управлению и возмущению (2.36), (2.37).

ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Временные характеристики используют при описании автоматических систем. К временным характеристикам относят переходную и импульсную переходную характеристики.

Переходной функцией h (t) системы (динамического звена) называют функцию, описывающую изменение выходной величины системы (звена), когда на ее вход подается единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях [5]. Аналитически единичное ступенчатое воздействие 1(t) записывается как

(2.46)

Импульсной переходной или весовой функцией системы (динамического звена) называют функцию, описывающую изменение выходной величины системы (звена), при подаче на ее вход единичного импульса при нулевых начальных условиях. Единичный импульс описывается дельта-функцией Дирака, являющейся математической идеализацией короткого импульса, площадь которого равна 1 при его длительности, равной 0, и амплитуде, равной бесконечности:

(2.47)

Как следует из определения, . В теории автоматического управления для оценки динамики систем применяют переходную функцию h (t) как реакцию системы на единичный скачок и импульсную переходную функцию как реакцию системы на единичный импульс w(t). Переходную и импульсную переходную функции получают, решая дифференциальное уравнение с нулевыми начальными условиями для случаев, когда входная величина является единичным скачком и единичным импульсом.

Найдем изображение по Лапласу единичного импульса и единичного скачка

; . (2.48)

Определим отклик системы с передаточной функцией W (p) (2.33) при подаче на вход единичного импульса

; . (2.49)

Таким образом, для определения импульсной переходной характеристики системы w(t) необходимо найти обратное преобразование Лапласа от передаточной функции .

Определим отклик системы с передаточной функцией W (p) на единичное ступенчатое воздействие 1(t)

; . (2.50)

Следовательно, для определения переходной функции h (t) необходимо разделить передаточную функцию системы на p и найти обратное преобразование Лапласа. Из формул (2.49) и (2.50) следует, что . Поскольку при нулевых начальных условиях умножение на p соответствует дифференцирование оригинала можно заключить .

Если на вход системы действует любой произвольный сигнал, то его можно представить в виде суммы скачков или суммы импульсов определенной интенсивности, подаваемых в определенные моменты времени или через равные промежутки времени. Найдя реакцию системы на каждый скачок (импульс) и просуммировав результат, получим реакцию системы на суммарный входной сигнал.

Например, определим импульсную и переходную функции звена первого порядка с передаточной функцией .

; (2.51)

;

где ; .

Временные характеристики звена первого порядка построены на рис. 2.6. На рис. 2.6. а приведена импульсная переходная характеристика , рис. 2.6. б приведена переходная характеристика звена первого порядка. Следует отметить, что касательная, проведенная к любой точке этих характеристик, отсекает отрезок на линии установившегося значения длительностью соответствующей постоянной времени . Теоретически характеристики достигают установившегося значения только при t=¥, однако практически длительность переходного процесса составляет от 4T до 5T.

Рис. 2.6

Например, переходную характеристику двигателя постоянного тока по управлению можно получить из (2.36):

. (2.52)

Для этого, необходимо решить характеристическое уравнение . Уравнение имеет три корня, один из которых равен нулю и два остальных:

. (2.53)

В зависимости от соотношения и возможен случай простых корней если , кратных корней , и комплексно сопряженных .

В случае простых корней , , разложение на простые дроби имеет вид:

, (2.54)

где ; ; ; . Следовательно

. (2.55)

В случае кратных корней , , разложение на простые дроби имеет вид:

. (2.56)

Коэффициенты и найдем методом неопределенных коэффициентов:

;

; ;

; ;

; .

Таким образом, получаем:

. (2.57)

В случае комплексно сопряженных корней обратное преобразование Лапласа найдем по формуле (2.32):

, (2.58)

где ; – вещественная и мнимая части комплексно сопряженных корней характеристического уравнения. Коэффициенты и найдем методом неопределенных коэффициентов:

;

; ; ; ;

; .

Следовательно, получаем:

(2.59)

На рис. 2.7. приведены переходные характеристики двигателя постоянного тока при различных соотношениях и : комплексно сопряженные корки в случае и рассчитаны по формуле (2.59); случай кратных корней при формула (2.57); простые корни при формула (2.55).

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Для описания сигналов в частотной области используется аппарат преобразования Фурье. Периодические сигналы при математическом описании могут быть представлены в виде ряда Фурье, состоящего из простых гармонических сигналов с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте :

, (2.60)

где , k – номер гармонической составляющей сигнала.

Коэффициенты и определяются по формулам Эйлера – Фурье:

; . (2.61)

Таким образом, гармонический анализ периодического сигнала осуществляет переход от функции времени f(t) к функции частоты F(w). Функция F(w), в этом случае, является дискретной и комплексной, поскольку она определена для дискретных частот w=kw _c имеет амплитуду и фазу . Такие функции представляют комплексными числами используя формулу Эйлера:

, (2.62)

откуда можно получить .

Спектром F(w) аналогового сигнала называется прямое преобразование Фурье [4]:

. (2.63)

Функция или ее модуль характеризует интенсивность исходного сигнала на частоте . Для аналоговых непериодических сигналов f(t) спектр F(w) является непрерывной непериодической комплексной функцией.

Формула (2.60) для непериодических сигналов имеет вид

, (2.64)

и называется интегралом Фурье или обратным преобразованием Фурье.

Спектр сигнала (2.64) является частным случаем преобразования Лапласа (2.15) если положить, что комплексная переменная p = jw. Например сигнал x (t) имеет изображение Лапласа X (p), тогда спектр сигнала может быть получен подстановкой p = jw, таким образом, спектром сигнала x (t) является функция X (jw).

Для исследования динамических свойств систем автоматического регулирования широкое применение получили частотные методы. Предположим, что на вход системы подается сигнал со спектром X (jw), а выходной сигнал системы имеет спектр Y (jw). Тогда частотной передаточной функцией называют отношение спектра выходной величины к спектру входной величины:

. (2.65)

Следовательно, частотная передаточная функция W (j w) совпадает с передаточной функцией (2.33) при подстановке p = jw:

. (2.66)

Частотная передаточная функция является комплексной функцией от действительной переменной w, и может быть записана в виде:

, (2.67)

где и - модуль и аргумент частотной характеристики.

Модуль частотной функции называется амплитудной частотной функцией, а ее график амплитудной частотной характеристикой (АЧХ):

. (2.68)

Аргумент частотной функции называется фазовой частотной функцией, а ее график фазовой частотной характеристикой (ФЧХ):

. (2.69)

Действительная часть частотной функции называется вещественной частотной функцией, а ее график вещественной частотной характеристикой (ВЧХ):

. (2.70)

Мнимая часть частотной функции характеристики называется мнимой частотной функцией, а ее график мнимой частотной характеристикой (МЧХ):

. (2.71)

Между всеми частотными характеристиками существует непосредственная связь. Каждая из них соответствующим образом характеризует свойства системы. Характеристики широко используются при исследовании качества процесса управления системами.

Если на вход линейной и устойчивой разомкнутой системы подать гармоническое возмущение, то по истечении времени протекания переходного процесса на выходе ее также установится гармоническое изменение выходной величины (рис. 2.8). Выходная величина будет иметь ту же частоту, что и возмущение, поданное на вход, но амплитуда и фаза ее примут другие значения. Амплитуда и фаза выходной величины при прочих равных условиях зависят от частоты возмущающего воздействия. По полученным значениям x и y для различных значений частоты w получают частотные характеристики: амплитудную, частотную и амплитудно–фазовую.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)есть зависимость отношения амплитуды колебаний на выходе Y_m к амплитуде колебаний на входе X_m от частоты колебаний w:

. (2.72)

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) отражает зависимость фазового угла сдвига между входными и выходными колебаниями .

Задаваясь различными значениями частоты входного гармонического воздействия w, можно получить серию значений вещественной U (w) и мнимой V (w) частей и построить частотные характеристики. На рис. 2.9 показаны возможные виды амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик.

Кроме этих характеристик часто используется амплитудно-фазовая частотная характеристика. Она строится следующим образом. Для каждого конкретного значения частоты w на комплексной плоскости (рис. 2.9 в) строится точка. Ее координата по оси абсцисс соответствует значению вещественной части передаточной функции U (w), а по оси ординат – мнимой V (w). Затем аналогичным образом находят точки для других частот в диапазоне от 0 до бесконечности, соединив которые получаем кривую амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ).

Метод логарифмических частотных характеристик представляет собой один из основных методов анализа и синтеза автоматических систем. Он применим к сложным системам, и позволяет оценивать динамические свойства замкнутых систем по их частотным характеристикам в разомкнутом состоянии.

Построение частотных характеристик систем значительно упрощается, если прологарифмировать выражение (2.40) для частной функции в показательном виде

; . (2.73)

Выражение (2.73) называют логарифмической амплитудно-фазовой частотной характеристикой, которая может быть представлена двумя характеристиками: логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) и логарифмической фазовой частотной характеристикой.

ЛАЧХопределяет изменение логарифма отношения амплитуды сигнала на выходе к амплитуде сигнала на входе при изменении частоты:

[дБ]. (2.74)

Другими словами ЛАЧХхарактеризует степень усиления системой входного сигнала, поэтому эту величину измеряют в единицах, принятых для усилительных устройств. 1 бел – характеризует степень усиления мощности сигнала в десять раз: . Поскольку – это отношение не мощностей, а перемещений, скоростей, напряжений и т.п., то увеличение этого отношения в 10 раз будет составлять увеличению мощностей в 100 раз, что соответствует 2 белам или 20 дБ. Это и определило в (2.74) множитель 20. Один дБ соответствует изменению амплитуды в раза. Нулевая точка на оси ординат соответсвует усилению амплитуды А=1 (т.к. lg1=0). При ослаблении (А<1) ордината G отрицательна.

При построении логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) по оси абсцисс частоту откладывают в логарифмическом масштабе . В этом случае за единицу измерения частоты принимается декада. Декадой называется интервал частот, на котором частота изменяется в 10 раз. Следует учитывать, что частоты, меньше 1 рад/сек отображаются в левой плоскости, а .

По оси абсцисс складывается не само значение частоты , а , где обычно принимают 1 или частоту собственных колебаний системы. Тогда каждое целое деление шкалы частот будет характеризовать изменение частоты в 10 раз, или на одну декаду, по отношению к частоте, соответствующей предыдущему делению. Если , то для определения в декадах находят . В начале координат на оси абсцисс можно помещать любое значение частоты в зависимости от того, какой диапазон частоты в зависимости от того, какой диапазон частоты нас интересует.

Иногда ось абсцис представляется в логорифмическим масштабе, а значение частоты наносится в относительных единицах.

Логарифмической фазо-частотной характеристикой называется зависимость фазового угла сдвига от логарифма частоты. Эту характеристику также строят в прямоугольной системе координат, откладывая по оси абсцисс частоту в логарифмическом масштабе, а по оси ординат – фазу в градусах.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика отличается от обычной фазовой частотной характеристики лишь тем, что частота на оси абсцисс откладывается в логарифмическом масштабе. Фаза наносится на оси ординат в градусах.

Главным достоинством логарифмических характеристик является то, что они могут быть построены практически без вычислений. Например, если передаточная функция представляется в виде произведения типовых сомножителей , то ЛАЧХ получается суммированием ординат ЛАЧХ всех сомножителей. Амплитудно-частотная функция имеет вид:

. (2.75)

Логарифмическая амплитудно-частотная функция имеет вид:

. (2.76)

Обычно ограничиваются построением асимптотической ЛАЧХ, которая имеет вид ломаной лини, частоты w _i =1/ Т_i соответствующие точкам излома, называют сопрягающими частотами. Как видно из уравнения (2.76), на низких частотах основной вклад несет слагаемое 20lg к. Каждый полюс передаточной функции вносит слагаемое , что приводит к изменению наклона ЛАЧХ на –20 дБ/дек на соответствующей частоте сопряжения w _i, а нули приводят к изменению наклона ЛАЧХ на +20 дБ/дек.

На рис. 2.10 приведены точная и асимптотическая ЛАЧХ в случае Т ₁=0.0001с; Т ₂=0.1с; Т ₃=0.01с. При этом w₁>w₃>w₂, уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид:

(2.77)

Например, необходимо построить ЛАЧХ двигателя постоянного тока по управлению. Передаточную функцию двигателя постоянного тока по управлению (2.36), в случае простых корней (2.53), можно записать в виде:

, (2.78)

где ; .

Частотную передаточную функцию W_X (j w) получим подстановкой p=j w:

,(2.79)

тогда амплитудно-частотная и фазо-частотная функции соответственно имеют вид:

;

. (2.80)

Логарифмическая амплитудно-частотная функция в соответствии с (2.47):

. (2.81)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика ДПТ НВ приведена на рис. 2.11.