Второй этап – выбор метода решения

На этом этапе необходимо осуществить выбор метода решения математической модели. Математические модели можно решать различными методами.

Аналитический метод. Широко распространенный способ первоначального анализа математической модели. Исследование объекта или явления обычно начинается с поиска возможных аналитических решений упрощенной математической модели. Аналитические решения часто используются как тестовые модели для сравнения результатов решения математической модели, полученных с помощью численного метода.

Численный метод, или метод прямого программирования. Это направление связано с разработкой метода вычисления сформулированной математической задачи (алгоритма), т.е. построение разностной (дискретной) модели, которая представляет собой совокупность цепочек алгебраических формул, по которым ведутся вычисления, и логических условий, позволяющих установить нужную последовательность применения этих формул.

Метод статистических испытаний (Монте-Карло). Этот метод является применением теории вероятности и математической статистики для решения задач в различных областях, и он близок к численному методу. Однако в этом методе подход к решению поставленной задачи имеет свою специфику. В частности здесь нет необходимости создания разностной (дискретной) модели, реальному процессу в этом методе сопоставляется вероятностный процесс. Решение имитационной (вероятностной) модели считается решением реальной задачи.

Использование различных информационных технологий, например, пакетов Maple, MathCad, Mathematics, Excel и т.д. для решения математических задач, в которых можно провести компьютерное моделирование реальных процессов и явлений. Отметим, что эти системы являются отражением разработанных численных методов на современном этапе и их возможности часто при решении сложных задач бывают ограниченными.

Метод виртуального эксперимента с помощью аналоговых вычислительных машин (АВМ). К сожалению, с бурным развитием ЭВМ, развитие АВМ отошло на второй план. Однако отметим, что появились информационные системы, в частности Electronics Workbench, Simulink+MatLAB, Maple, Vissim, позволяющие на ЭВМ имитировать работу АВМ. В этих пакетах имеется возможность решать и анализировать математические модели с помощью имитаторов электронных приборов и логических схем.

В данной книге мы ориентируемся на решение исходной задачи численным методом или методом прямого программирования, т.е. строим дискретные аналоги математической модели, создаем вычислительный алгоритм задачи.

Как правило, для одной и той же математической задачи можно предложить великое множество вычислительных алгоритмов. Каждый может разработать свой алгоритм для данной задачи. Возникает вопрос (сомнение), насколько решение задачи по разработанному алгоритму совпадает с истинным решением задачи, т.е. каково качество алгоритма? Таким образом, возникает задача, как построить хороший алгоритм, не тратя времени и труда на программирование и расчеты, по их внешнему виду. Определение критериев для оценки качества вычислительных алгоритмов для различных задач и составляет предмет теории численных методов - раздела вычислительной математики.

Общая цель этой теории - построение эффективных вычислительных методов, которые позволяют получить решение поставленной задачи с заданной точностью за минимальное количество действий (арифметических, логических), т.е. с минимальными затратами машинного времени.

Таким образом, перед реализацией алгоритма на ЭВМ необходимо теоретически оценить его качество и провести исследования:

- на устойчивость алгоритма:

- на сходимость алгоритма;

- на точность вычислений;

- на экономичность вычислений.

Получить решение соответствующей математической задачи в виде аналитической формулы, содержащей явную зависимость от параметров, для реальных задач c учетом всех условий чаще всего не удается. В отличие от аналитической процедуры решения, вычислительный эксперимент имеет многовариантный характер, так как при использовании методов вычислительного эксперимента каждый конкретный расчет проводится при фиксированном значении параметров. Если параметров много, то приходится проводить большое число расчетов однотипных вариантов задачи, отличающихся значениями некоторых параметров. Поэтому при проведении вычислительного эксперимента важно опираться на эффективные численные методы.

В пособии в краткой форме даются также технологии решения математической модели в пакетах Excel, MathCad.