Под математической моделью понимается приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики

Создание математической модели идет по логической схеме «знания об объекте – гипотеза о структуре и функционировании объекта – система взглядов на объект – разумные упрощения - модель».

Для того чтобы получить количественную информацию о явлении, нужно найти адекватное математическое описание всех его существенных особенностей, которое и будет представлять собой математическую модель. Обычно это уравнение или система уравнений, описывающая элементарные процессы, из которых складывается исследуемое явление.

Для пояснения, что такое математическая модель, рассмотрим процедуру создания математической модели и его особенностей (проведем моделирование) на простом примере – камня, падающего на Землю.

F =G mM/R²_з

Здесь m и М_з - масса камня и Земли, R - расстояние между центрами притягивающихся тел, G - гравитационная постоянная.

Если мы бросаем камень на поверхности Земли, то R = R_з.

С другой стороны если на тело действует сила, то

F = ma

Эти два закона полностью определяют простейшую математическую модель заинтересованного явления - падения камня на Землю.

ma =G mM/R²_з

или

которое называют ускорением силы тяжести и обозначают обычно буквой g=9,8 м/с. Последнее уравнение и является простейшей математической моделью рассматриваемого нами несложного явления - падение тела. Для определенности, в математическую модель следует включить исходное механическое состояние нашего камня - высоту Н с которой она падает, и скорость u, точнее, вертикальную составляющую, которая ему сообщена в начальный момент. Если, например, камень опустили без толчка, то u₀ =0.

Математическая модель построена, теперь, решая ее, можно получить исчерпывающее описание процесса падения тела. Это движение называется равноускоренным, например, на любой момент времени можно указать высоту, на которой находится тело, h и скорость u₀:

Это аналитическое решение уравнения ().

Скажем, за первую секунду падения будет пройдено 490 см, к концу второй секунды - 1960 см и т.д., скорость будет нарастать пропорционально времени падения. Лабораторные опыты полностью подтверждают теоретические результаты, предсказанные с помощью математической модели.

Означает ли это, что рассмотренная нами математическая модель исчерпывающим образом описывает падение любого тела?

Рассмотрим падение желтого листа, падение парашютиста. Падение напоминает равномерное движение, нежели равноускоренное. Оба примера противоречат построенной выше математической модели и следующим из них формулам. В чем же несоответствие нашей модели, что же мы не учли? Сопротивление воздуха.

Значит наша модель несостоятельна и формулы () не верны? Почему же лабораторные опыты ох подтвердили?

Дело в том, что любое физическое явление, взятое во всей своей полноте, чрезвычайно сложно, ибо на него в принципе влияет неисчислимое количество факторов. В нашем примере с падающим камнем на его движение помимо рассмотренной силы тяжести воздействует и уже упомянутая сила сопротивления воздуха, притяжение Луны, солнца, планет, и убывание атмосферы с высотой, ветер, что Земля не шар, а тело более сложной формы и множество других факторов.

Если попытаться учесть все это в математической модели, то получится настолько громоздкая и сложная математическая задача, что решить ее на современных вычислительных машинах будет затруднительно.

Стоит вопрос, а нужно ли все учитывать? Ведь влияние перечисленных факторов неравноценно, как правило, определяющую роль играют небольшое число факторов, а остальные являются несущественными.

Таким образом, при разработке математической модели необходимо расчленить явление на элементарные процессы, выделить все факторы, выяснить какие из них существенны, а какие могут быть учтены лишь приблизительно.

В нашем примере, смело можно отбросить факторы, кроме сил земного притяжения. Даже сопротивление воздуха можно не учитывать, ведь высота, с которой падает наш камень, не велика, и он не успеет разогнаться до такой степени, когда сопротивление станет заметным. Итак, условием применимости нашей модели является небольшая высота падения. Можно вывести и другие условия, оговорки, когда наша модель справедлива. Опыты производятся на Земле, а не в космосе; камень достаточно тяжел, что он не падает как листок и т.д. И это все можно написать на языке математики. И если они выполнены, математическая модель справедлива, или как говорят, адекватна изучаемому явлению - ее предсказания хорошо согласуются с результатами эксперимента.

Таким образом, мы пришли к важному выводу:

Математическая модель - это не только уравнения математической задачи, но и дополнительные условия. устанавливающие границы их применимости. Все полученные с помощью этой модели теоретические результаты будут справедливы только в оговоренных рамках.

Таким образом, конструирование математической модели какого-либо процесса или явления - дело до крайности деликатное. С одной стороны, нельзя, ни на грамм переложить сложности, иначе из-за обилия уравнений и их громоздкости - мы не решим их. С другой стороны, нельзя, жертвовать некоторыми факторами, для получения более простых уравнений. Тогда модель начнет давать абсурдные результаты. Пример - парашютист.

Таким образом, от исследователя требуется знание содержания исследуемого объекта, и хорошее владение математическими методами. Создание удачной математическая модель - это половина успеха в решении данной задачи.

Под математическим моделированием будем понимать процесс формализации объекта-оригинала с помощью отображения его функционирования математическими соотношениями, записанных при некоторых упрощающих предположениях.

Математическое моделирование можно условно подразделить по типу и методу построения решения модели: аналитическое, дискретное, диаграммное и имитационное.

Под аналитическим моделированием мы будем понимать процесс формализации реального объекта и нахождение его решения в аналитических функциях.

Если построенная математическая модель не имеет аналитического решения, то такие модели можно решать приближенно, используя численные методы. Для данной математической модели строят дискретные (разностные) аналоги и решают итерационными методами.

Процедуру построения математической модели какого-либо реального явления или процесса и нахождение численного решения часто называют численным моделированием.

Следующий вид моделирования – это имитационное. Оно заключается в создании модели-имитатора работы сложных (чаще всего при наличии стохастических, случайных факторов) систем и процессов (экономических, производственных, экологических систем, систем массового обслуживания и т.д.).