Техника расчета крутого восхождения

Технику расчета крутого восхождения удобно рассмотреть для простейшего случая – одного фактора.

Значение коэффициента регрессии равно tg угла наклона между линией регрессии и осью данного фактора. Если tg умножить на интервал варьирования ОА, то получим катет АВ, где В – координаты точки, лежащие на градиенте. Обобщение на kфакторов делается механически, коэффициенты умножаются на соответствующие интервалы. Получаются точки, лежащие на том же градиенте.

Различны только шаги – они получаются, если к нулевому уровню последовательно прибавлять величины, пропорциональные составляющим градиента. Шаг движения по градиенту выбирается экспериментатором, если сделаете его минимальным – придется проводить много опытов при движении к оптимуму, максимальным – можно проскочить оптимум.

Величины составляющих градиента определяются формой поверхности отклика и тем, как выбран параметр оптимизации, нулевая точка и интервалы варьирования. Знак составляющих градиента зависит от формы поверхности отклика и положения нулевой точки x0. Итак, если для данной поверхности отклика (предполагается, что один оптимум)

выбраны нулевая точка и интервалы варьирования,

проведен эксперимент, оценены коэффициенты регрессии,

то направление градиента задается однозначно и является единственным.

Правило: расчет крутого восхождения. В крутом восхождении независимые переменные изменяют пропорционально величинам коэффициентов регрессии и с учетом их знаков.

Составляющие градиента однозначно получаются умножением коэффициентов регрессии на интервалы варьирования по каждому фактору. Серия опытов (называются мысленными) в направлении градиента рассчитывается последовательным прибавлением к основному уровню факторов величин, пропорциональных составляющим градиента. Далее в эксперименте реализуются мысленные опыты (обычно только те, условия которых выходят за область эксперимента хотя бы по одному фактору). Потом выполняется анализ на достижение оптимума, а далее:

окончание исследования (канонический анализ), если оптимум найден, или

последовательный поиск (еще раз делается шаг крутого восхождения). Крутое восхождение эффективно, если реализация мысленных опытов на стадии крутого восхождения улучшило значение параметра оптимизации посравнению с самым хорошим результатом в матрице планирования. Если крутое восхождение эффективно, то можно:

или окончить исследование (в зависимости от того как поставлена задача оптимизации),

или совершить следующий цикл крутого восхождения;

или исследовать почти стационарную область (область оптимума) методами нелинейного планирования (построить план 2го порядка для исследования области оптимума).

Если крутое восхождение неэффективно, – можно построить линейный план нового цикла. Итак, сначала исследование проводим внутри малой подобласти. Выбираем некоторую точку в факторном пространстве. И в данной точке факторного пространства планируем эксперимент – далее интерполяция с помощью линейного полинома. А затем экстраполируем (вне нашей подобласти), делаем небольшой шаг и проводим эксперимент, и цикл повторяется до тех пор, пока движение по градиенту не перестанет быть эффективным. Это значит, что мы попали в область, близкую к оптимуму.

Такая область называется “почти стационарной”. Таким образом, процедура поиска оптимума основана на шаговом принципе: проводятся короткие (небольшие, насколько возможно) серии прогонов, по их результатам строят математическую модель (линейную регрессию). Полученную модель используют для оценки градиента (направления движения к оптимуму). А далее делается небольшой шаг в направлении градиента и ставят новые эксперименты в этом направлении и т.д. Получается циклический процесс, который заканчивается при попадании в область, близкую к оптимуму (“почти стационарную” область).

Многошаговая итерационная процедура, реализуемая методологией анализа поверхности отклика условно включает следующие этапы:

1. Планирование эксперимента, т.е. выбор комбинаций уровней факторов. Методика использует полные и дробные типа 2k-p планы эксперимента и некоторые специальные планы.

2. Подбор уравнения регрессии по наблюдениям. Отклик рассматривается как функция независимых переменных Уравнение линейной регрессии описывает поверхность отклика в некоторой точке (нулевой или центральной).

3. “Влезание” по поверхности отклика к вершине. Для нахождения направления увеличения отклика служит метод “крутого восхождения”. В направлении, где ожидается увеличение отклика, этапы 1,2,3 повторяются до тех пор, пока не будет достигнута область максимума.

4. Исследование почти стационарной области с помощью полиномов 2го порядка. Канонический анализ в области максимума функции отклика. Канонический анализ показывает, имеется ли один максимум, несколько максимумов, седловая точка или гребень.