Факторный анализ, полный и дробный факторный эксперимент и математическая модель

Возможны следующие методы исследования:

Классический метод “один фактор в каждый момент времени”. Один из традиционных методов исследований многофакторных экспериментов состоит в фиксации всех факторов, кроме одного, на некоторых уровнях и вариации уровней этого фактора. При такой схеме факторы изменяются и исследуются поочередно. Известно, что эксперимент с одним фактором редко обладает достаточной информативностью, если он насчитывает в себе менее 8 выборочных точек на каждом уровне. (Можно привести подобный традиционный 2х факторный эксперимент с двумя уровнями каждого фактора, выборка имеет объем 32.)

Симметричный полный факторный эксперимент. Однако можно построить этот эксперимент и как симметричный полный факторный эксперимент.

Факторным экспериментом называется такой эксперимент, в котором все уровни данного фактора комбинируются со всеми уровнями всех других факторов.

Под “симметричностью” понимается одинаковое количество уровней для всех факторов. Основные достоинства факторного анализа:

• простота применения и интерпретации;

• максимальная эффективность метода исследования (факторный анализ позволяет получить требуемую информацию при заданной точности с меньшими затратами, т.е. количество требуемых экспериментов меньше);

• если имеют место взаимодействия между факторами – то их можно правильно идентифицировать и интерпретировать эти взаимодействия (важно в задачах интерпретации);

• результаты справедливы, как правило, в более широком диапазоне условий (т.к. влияние фактора оценивается при нескольких уровнях других факторов).

Если число уровней каждого фактора 2, то имеем полный факторный эксперимент типа 2k, – он прост в планировании. Требуемое количество машинных прогонов N = 2k, k – число факторов, 2число уровней. В планировании эксперимента используют кодированные значения факторов: +1, 1 (1 опускают для простоты). Условия эксперимента описывают в виде таблицы – матрицы планирования эксперимента: вектор – строки матрицы соответствуют № прогона, вектор – столбцы – значениям факторов.

Основные классы планов, применяемые в вычислительном эксперименте

По методу анализа и виду математической модели различают:

планы дисперсионного анализа (однофакторный, многофакторный);

планы регрессионного анализа;

планы ковариационного анализа.

Планы многофакторного анализа:

двухуровневые,

многоуровневые;

симметричные,

несимметричные.

В практике машинного эксперимента полезны следующие виды планов:

1. Планы многофакторного анализа: Планы типа 2k-p. Все k факторов имеют 2 уровня, используется часть всех комбинаций (дробная реплика) – существует возможность оценить главные эффекты факторов и взаимодействия низкого порядка. Определяют следующие типы планов:

• Планы разрешающей способности III: ни один главный эффект не смешан ни с каким другим главным эффектом, но главные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, которые смешаны друг с другом.

• Планы разрешающей способности IV: ни один главный эффект не смешан с другим главным эффектом или взаимодействием двух факторов, но эти взаимодействия смешаны друг с другом.

• Планы разрешающей способности V: ни один главный эффект и ни одно взаимодействие 2х факторов не смешаны с другими главными эффектами или двухфакторными взаимодействиями, но эти взаимодействия смешаны с взаимодействиями трех факторов. В общем случае разрешающая способность плана равна наименьшему числу символов в коде определяющего контраста.

2. Планы отсеивающего эксперимента: Если k велико, число комбинаций всетаки остается большим даже при неполном факторном плане (2k-p), тогда используются планы отсеивающих экспериментов. “Отсеивающий эксперимент” предполагает предварительное отсеивание, определение наиболее важных (существенных) факторов и используется на стадии предварительного исследования.

2.1. Случайные планы. Комбинации уровней факторов случайно (рандомизация) отбираются среди всех возможных комбинаций. Число комбинаций N может быть определено независимо от числа факторов и уровней. (N может быть, например, < k). Могут быть получены “хорошие” оценки индивидуальных эффектов, не требуется специальных методов анализа – используются традиционные ДАН и регрессионный анализ. Если очень много факторов – можно использовать сверхнасыщенные планы:

2.2. Сверхнасыщенные планы. Если реплики от планов 2k насыщены, то они содержат как раз столько опытов, сколько эффектов надо оценить. Сверхнасыщенные планы – когда число комбинаций Nменьше, чем число факторов k, и комбинации отбираются так, чтобы (для данных N и k) оценки эффектов были достаточно “хорошими”.

2.3. Планы группового отсеивания (последовательного отсеивания). k факторов разбиваются на q групп (q<<k) и эти q групп факторов испытываются в плане типа 2k-p или в сверхнасыщенном плане. Та группа факторов, которая оказалась наиболее важной, разбивается на несколько групп меньшей размерности (в конечном итоге до групп размерности 1).

3. Планы для изучения поверхности отклика В имитационном моделировании используется технология последовательного планирования. На практике, например, может быть использована следующая схема проведения эксперимента: допустим, сначала реализуется план 2k-pиспользуется малая часть эксперимента; если оказывается его недостаточно (часть эксперимента слишком мала для оценки всех эффектов) – необходимо уменьшить дробность плана, дополнить план эксперимента (“методом перевала”) – расширить эксперимент до полного факторного экспериментаи т. д.