Сведение линейной краевой задачи к двум задачам Коши

Этот прием может быть использован для линейных краевых задач (6.20-6.22).

Будем искать решение уравнения (6.20) в виде

y (x) = Cu (x) + v (x).(6.29)

Потребуем, чтобы решение в форме (6.29) удовлетворяло (6.20) и граничному условию (6.21) при любом С.

Подставим (6.29) в (6.20):

С (u'' + pu' +qu) + v'' + pv' +qv = f.

Для того чтобы это уравнение выполнялось при любом C, необходимо, чтобы

u'' + pu' +qu = 0. (6.30)

Тогда v'' + pv' +qv = f. (6.31)

Подставим (6.29) в (6.21):

С [ a ₁ u (a) +b ₁ u' (a)] + a₁v (a) +b₁v' (a) =g₁.

Аналогично: a ₁ u (a) +b ₁ u' (a) = 0 Þ

Этому граничному условию можно удовлетворить бесконечным числом способов. Например, можно потребовать, чтобы

u (a) = b ₁ K; u' (a) = –a ₁ K. (6.32)

Таким образом, мы имеем задачу Коши (6.30), (6.32) для нахождения функции u (x). Оставшееся граничное условие для v (x)

можно выбрать так:

. (6.33)

Следовательно, для нахождения функции v (x) также имеем задачу Коши (6.31), (6.33).

Решая эти две задачи известными нам методами (например, Рунге-Кутта, Адамса), найдем функции u (x) и v (x) такие, что скомпонованная из них функция y (x) (6.29) будет удовлетворять (6.20) и (6.21).

Осталось удовлетворить (6.22). Подставим найденное решение в условие (6.22):

С [ a ₂ u (b) +b ₂ u' (b)] + a ₂ v (b) +b ₂ v' (b) = g ₂.

Из этого уравнения находим C:

.

Итак, решение краевой задачи закончено. Функция y (x) определена.

Видно преимущество этого подхода перед методом стрельбы. В методе стрельбы число задач Коши, которые нужно решить для получения искомого решения краевой задачи, определяется точностью удовлетворения граничному условию на правой границе.

При использовании этого метода необходимо решить только две задачи Коши.