Метод стрельбы

Суть метода стрельбы заключается в сведении решения краевой задачи к решению задач Коши.

Рассмотрим его применение на примере той же задачи (6.20).

Обозначим z (x)= y ¢.Получаем краевую задачу для системы из двух дифференциальных уравнений первого порядка:

(6.25)

Зададим произвольно еще одно условие, например, на левой границе: y (a) =x.

Тогда .

Следовательно, мы можем начать решение задачи Коши для системы из двух уравнений. Решаем каким-либо из известных нам методов, например, методом Рунге-Кутта и находим решение в точке x=b. Естественно, это решение получилось у нас зависящим от x: y_N (x), z_N (x). Более того, это решение должно удовлетворять правому граничному условию (при x=b), т.е. необходимо, чтобы

a ₂ y_N (x) + b ₂ z_N (x) = g ₂ или F (x) = 0. (6.26)

Таким образом, наша задача свелась к поэтапному улучшению первоначальной оценки граничного условия y (a) = x до тех пор, пока условие (6.26) не выполнится, т.е. к «пристрелке».

В общем случае уравнение (6.26) нелинейно и решается относительно x любым из известных способов решения нелинейных уравнений (итераций, Ньютона, половинного деления и т.п.). Функция F (x) в явном виде неизвестна, однако ее значение можно вычислить для любого заданного x путем решения задачи Коши.

Таким образом, процесс реализации метода стрельбы можно разбить на три этапа:

1) подбор хорошего начального приближения для x;

2) нахождение эффективного метода вычисления F (x);

3) выбор соответствующего итерационного метода для решения уравнения F (x) = 0.

Если система уравнений (6.25) содержит больше двух уравнений, то недостающих условий на каком-либо конце отрезка интегрирования будет больше, чем одно.

(6.27)

В этом случае поступают аналогичным образом.

Во-первых, выбирают границу с большим числом заданных граничных условий, пусть это будет x=a, а недостающие задают произвольным образом: y_i (a)= x_i, i=k+ 1 ,…,n.

Во-вторых, решают задачу Коши и находят

, j= 1 ,…, n.

Теперь на правой границе необходимо решать систему нелинейных (в общем случае) уравнений

или F (x) = 0 (6.28)

для нахождения необходимых значений x_i. Эта задача также решается одним из известных методов (метод Ньютона, методы спуска).

Решение задачи Коши, при котором выполнится (6.28), и будет решением краевой задачи.

Отметим еще следующее. «Пристрелку» можно вести и с двух концов одновременно, задавая произвольным образом недостающие граничные условия на обоих концах отрезка и решая задачу Коши одновременно с двух сторон (из точки х=а и x=b). Некоторая точка встречи решений называется точкой сшивания (x=x_m). В этой точке должны выполняться условия сшивания:

F (x) º y_i (a, x_m, x) – y_i (b, x_m, x) = 0.

Правильный выбор положения точки x_m позволяет преодолеть некоторые трудности, которые возникают в процессе практического интегрирования уравнений.

Если система дифференциальных уравнений неустойчива в одном направлении, то можно проводить интегрирование в противоположном направлении, выбрав в качестве точки сшивания соответствующий конец отрезка. Если система неустойчива в обоих направлениях, то влияние неустойчивости можно минимизировать, смещая точку сшивания к середине отрезка интегрирования.

Отметим также, что метод стрельбы малопригоден, если имеется сильная зависимость функции F (x) от начального значения x. В этом случае следует очень точно определять это начальное значение, что не всегда возможно.